Ciągi, monotoniczność, wykres zawarty w paraboli/prostej prostopadłej do prostej Asachi:

	1
1. Dany jest ciąg an=		(n−5)(n−2)
	2

a) Uzasadnij, że ciąg nie jest monotoniczny b) Które wyrazy ciągu an są ujemne? 2. Wykres ciągu (an) zawarty jest w paraboli o wierzchołku w punkcie (4, −3) przechodzącej przez punkt (5, −2). Podaj wzór ogólny tego ciągu. 3. Wyznacz wzór ciągu (an), którego wykres zawarty jest w prostej prostopadłej do prostej y=2x−3 oraz a4=−1

Jack: 1. a) ciąg nie jest monotoniczny, gdy 1)an+1 − an jest związane z "n" 2) jak jest zwiazane z tym "n" to musza byc raz ujemne raz dodatnie wartosci, lub na odwrot...czyli : a_n = 1/2(n−5)(n−2) = 0,5n² − 3,5n + 5 a_n+1 = 1/2(n+1−5)(n+1−2) = 0,5n² − 2,5n + 2 a_n+1 − a_n = 0,5n² − 2,5n + 2 − (0,5n² − 3,5n + 5) = n − 3 sprawdźmy czy jest albo tylko rosnący, albo tylko malejący dla n=1 −>> 1−3 = −2 dla n=2 −>> 2−3 = −1 n=3 −>> 3−3=0 n=4 −>> 4−3 =1 Jak widać dla "małych" wyrazów jest ujemny, natomiast dla większych jest dodatni, dlatego nie jest monotoniczny. Gdyby był tylko dodatni to rosnący, natomiast tylko ujemny − malejący. b) an < 0 1/2(n−5)(n−2) < 0 Po narysowaniu paraboli i odczytanie wyniku wychodzi, że dla n należącego (2;5). Skoro jest on otwarty to 2 i 5 nie należą. Ujemne są więc tylko a₃ i a₄

Jack: zad 2. Skoro znamy wierzchołek...nazwijmy go P, to P(4,−3). Wzór na postać kanoniczną funkcji wygląda : y = a (x−p)² + q Gdzie p i q są współrzędnymi x i y wierzchołka. Nasza funkcja więc wygląda następująco : y = a (x−4)² −3

Jack: Podstawmy teraz drugi punkt skoro wiemy, że należy do paraboli (5, −2). A więc : −2 = a (5−4)² −3 z tego wynika, że : −2 = −2a, a więc a=1. Nasza funkcja wygląda następująco : y = 1 (x−4)² −3, a po wymnożeniu y = x² − 8x + 13. Nasz ciąg można zapisać an = n² −8n + 13

Jack: zad 3. skoro wiemy że wykres zawarty jest w prostej prostopadłej do prostej y=2x−3. To nasza prosta musi być y = −1/2x + b (skąd to wiemy? − gdy są równoległe to współczynnik kierunkowy "a" funkcji jest taki sam, natomiast prostopadłe − to współczynnik powstaje poprzez dodanie znaku minus i odwrócenie naszej liczby. W tym wypadku 2 −> −1/2). Wiemy też że a₄ = −1 Można by to zapisać jako f(4) = −1, czyli podstawiamy punkt (4, −1 ). y = −1/2x + b −1 = −1/2 * (4) + b stąd b = 1 Nasza funkcja : y=−1/2x + 1, a więc wzór ciągu : a_n = −1/2n +1

	1
Kiedy piszę −1/2 mam na myśli oczywiście −
	2