chodzi o wykazanie w ogólnym przypadku. Damian: Proszę o pomoc. Mam problem z takim zadaniem: " Wykaż, że jeżeli 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) i a+b+c≠0, i abc≠0, to wśród liczb a,b,c dwie liczby są przeciwne."

Chinczyk: POMAGAM

@Damian@ / PePe: Ja też pomogę

@Damian@ / PePe:

1		1		1		1
	+		+		=
a		b		c		a+b+c

bc		ac		ba		1
	+		+		=
abc		abc		abc		a+b+c

bc+ ac + ba		1
	=
abc		a+b+c

abc
	= a + b + c
ab + bc + ac

Skoro warunek jest taki, że dwie liczby są do siebie przeciwne to np. a= −b więc

−b * b * c
	= a+b+c
−bc + bc −b*b

−b2c
	= −b + b +c
−bc + bc −b2

−b2c
	= c
−b2

c się skraca zostaje

−b2
	= 1
−b2

1=1 Więc warunek zadania, mówiący o tym, że dwie liczby są do siebie przeciwne jest prawdziwy

Nikka: ... nie jestem przekonana czy to właśnie tak... jak dla mnie fakt, że dwie liczby są przeciwne to teza, którą należy dowieść, a nie z niej korzystać (jeśli dobrze myślę)...

@Damian@ / PePe: Drugi sposób rozwiązania: skoro a=−b to

1		1		1		1
	+		+		=
−b		b		c		a+b+c

bc		−bc		−b2		1
	+		+		=
−b2c		−b2c		−b2c		a+b+c

−b2		1
	=
−b2c		a+b+c

−b2c
	= a+b+c
−b2

c = a+b+c 0 = a+b więc a=−b lub b=−a Tylko nie jestem pewien czy to może być rozwiązaniem zadania...

@Damian@ / PePe: Jeśli w zadaniu jest podana teza − to korzystając z niej powinniśmy otrzymać jakąś prawidłowość... Nie ważne jest sposób postępowania − ważne jest rozwiązanie... dlatego możemy udowadniać tezę lub tak samo z niej skorzystać... Tak myślę przynajmniej

Nikka: ja bym się nie zgodziła − tezę należy dowieść... nie można z niej korzystać w dowodzie... Ja bym to zrobiła tak (jeśli coś będzie nie tak poproszę o poprawę): 1. Założenie abc≠0 i a+b+c≠0 2. Teza: dwie spośród liczb a,b,c są przeciwne. 3. Dowód: korzystając częściowo z Twoich przekształceń (żeby już ich nie przepisywać):

	abc
a+b+c =
	ab+ac+bc

	abc
a+b =		− c
	ab+ac+bc

	abc		c(ab+ac+bc)
a+b =		−
	ab+ac+bc		ab+ac+bc

	abc−abc−ac2−bc2
a+b =
	ab+ac+bc

	−ac2−bc2
a+b =
	ab+ac+bc

	−c2(a+b)
a+b =
	ab+ac+bc

(a+b)(ab+ac+bc)		c2(a+b)
	+		= 0
ab+ac+bc		ab+ac+bc

Przyrównujemy licznik do zera: (a+b)(ab+ac+bc)+c²(a+b) = 0 (a+b)((ab+ac+bc + c²) = 0 (a+b)[a(b+c)+c(b+c)] = 0 (a+b)(a+c)(b+c) = 0 Stąd a+b =0 lub a+c = 0 lub b+c = 0 c.n.d np. a = −b i dopiero teraz można sprawdzić czy zachodzi równość, itp.

@Damian@ / PePe: hmmm rozwiązanie mądre... może masz racje

Eta:

Damian: Dzięki serdeczne. Ja też uważam, że chodziło o to aby przy danych założeniach udowodnić prawdziwość tezy.

Nikka: