Znajdź bazę przestrzenii V maxi: Znajdz bazę przestrzeni V = Lin{(1, −1, 4); (2; −3; 3); (−1; 3; 6)} Dziękuję

ror: Przestrzeń V jest kombinacją liniową wektorów (1, −1, 4); (2; −3; 3); (−1; 3; 6), wektory te są liniowo niezależne więc są wektorami bazowymi tej przestrzeni. a[1,−1,3]+b[2,−3,3]+c[−1,3,6]=[0,0,0] a+2b−c=0 −a−3b+3c=0 3a+3b+6c=0 ⇔a=b=c=0

ror: coś źle przepisałem a[1,−1,4]+b[2,−3,3]+c[−1,3,6]=[0,0,0] a+2b−c=0 −a−3b+3c=0 4a+3b+6c=0 b=2c a=−3c c[−3,2,1] więc masz tylko jeden wektor bazowy [−3,2,1]

ror: aj głupoty

ror: ten układ jest liniowo niezależny więc tworzy bazę V

Przemysław: Mamy podany zbiór generatorów. Baza będzie się zawierała w tym zbiorze generatorów. sprawdźmy, czy wektory ze zbioru generatorów są lin. niezal. a(1,−1,4)+b(2,−3,3)+c(−1,3,6)=(0,0,0) (a+2b−c,−a−3b+3c,4a+3b+6c)=(0,0,0) a+2b−c=0 −a−3b+3c=0 4a+3b+6c=0 1. równanie + 2. równanie: −b+2c=0 2c=b => a+3c=0 4a+12c=0 a+3c=0 a+3c=0 odejmijmy równania od siebie: 0=0 nie dostaliśmy dodatkowej informacji, więc niekoniecznie a=b=c=0, bo może być np. a=−3, b=2, c=1 i mamy: −3*(1,−1,4)+2*(2,−3,3)+(−1,3,6)=(−3+4−1, 3−6+3, −12+6+6)=(0,0,0) czyli nie dostaliśmy wynikania, które jest potrzebne dla liniowej niezależności −> możemy wskazać kontrprzykład (a=−3, b=2, c=1) więc nie są lin. zależne poszukajmy więc bazy składającej się z 2 wektorów, które należą też do zbioru generatorów, muszą być one lin. niezal. na oko widać, że wektory {(1, −1, 4); (2; −3; 3)} spełniają lin. niezal. ale sprawdźmy to dla pewności: x(1,−1,4)+y(2,−3,3)=(0,0,0) (x+2y,−x−3y,4x+3y)=(0,0,0) x+2y=0 −x−3y=0 4x+3y=0 (dodanie stronami 1. i 2. równania) −y=0 => y=0 4x+3*0=0 => x=0 dostaliśmy szukane wektory bazowe. Można też zapewne wyznaczyć, jaką przestrzeń dają te wektory ze zbioru generatorów i pokazać, że te − {(1, −1, 4); (2; −3; 3)} będą ją generowały, ale o ile dobrze pamiętam nie trzeba tego sprawdzać, bo jakieś twierdzenie to załatwiało. Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.

ror: nie umiem liczyć

Przemysław: Spoko, znam ten ból.