utgigiu zombi: Pokazać, że f jest klasy C^∞

	⎧	0, dla x≤0
f(x) =	⎨
	⎩	e−1/x2, dla x>0

Wiem, dobrze że ona się ładnie "kładzie" i staje się super gładka koło zera. Ale chciałbym pokazać, że jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Podpowiedź albo dowód byłby super

kyrtap: zombi ja nie pomogę

zombi: Hahaha, dzięki! Tzn. już kiedyś widziałem dowód, ale przydałby mi się teraz. Może ICSP będzie wiedział.

Godzio: Trochę machanie rękami, ale może tak:

	2
f'(x) =		* e−1/x2
	x3

	6		4
f''(x) = −		* e−1/x2 +		* e−1/x2
	x4		x6

.... f⁽ⁿ⁾(x) = e^−1/x2(....)

	Ak
Gdzie (....) = ∑
	xk

Licząc granicę w zerze (bo tylko tam jest problem) otrzymujemy 0 ponieważ eksponenta maleje szybciej niż dowolny wielomian (to zapewne już było pokazywane). Stąd f⁽ⁿ⁾(0) = 0. Funkcja zatem jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, oraz pochodna w 0 jest równa 0

zombi: Dzięki Godzio Tzn profesor mówił, że da się to udowodnić z de l'Hospitala. Właśnie podobno z tego faktu, że jest nieskończenie razy różniczkowalna wynika to co powiedziałeś, że wykładnicza rośnie szybciej.

	e−1/x2
Bo potęgując tam n razy dostajemy		jakiś wielomian dowolnego stopnia i to
	P(x)

dąży do 0, więc eksponenta rośnie/maleje szybciej. Tylko szukam dowodu nie korzystającego z tego faktu.

Hugo: co to za matematyka wyższa ?