Wykaż, że ciąg jest monotoniczny. Izydor: Wykaż, że ciąg (a_n) jest monotoniczny.

	1−n
a) an =
	n+1

	3n
b) an =
	n+2

	n
c) an =
	2n−1

	3n+2
d) an =
	4n+1

Jak to zrobić stosując te zależności na a_n+1 − a_n Mógłby mi ktoś dokładnie rozpisać jeden przykład?

Izydor: Bardzo proszę o pomoc.

zombi: Pokaże ci przykład a) resztę spróbujesz analogicznie. a_n+1 − a_n

	1−(n+1)		1−n
=		−		=
	(n+1)+1		n+1

−n		1−n
	−		sprowadzamy do wspólnego mianownika
n+2		n+1

	−n(n+1)−(1−n)(n+2)
=		=
	(n+1)(n+2)

	−n2−n−n−2+n2+2n		−2
=		=		. Robota jaką pozostawiam tobie,
	(n+1)(n+2)		(n+1)(n+2)

jaki znak ma ta nasza różnica? Jest dodatnia czy ujemna?

Izydor: Dodatnia. Czyli właściwie w tym zadaniu mam wykazać, że jest monotoniczny określając czy ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący?

Izydor: Ujemna*

zombi: Tak! Bo to właśnie oznacza monotoniczność, że coś zachowuje się regularnie, rośnie, maleje, jest stałe. Skoro jest ujemna, wówczas a_n+1−a_n < 0 ⇔ a_n+1 < a_n, jaki wniosek z ostatniej nierówności?

Izydor: czyli w pierwszym jest ciągiem malejącym.

	3n+3
b) an+1 =
	n+3

	3n+3		3n		3n2 + 6n + 3n + 6 − 3n2 − 9n
an+1 − an =		−		=		=
	n+3		n+2		(n+3)(n+2)

	6
	(n+3)(n+2)

Czyli tutaj jest dodadnia i ciąg jest ciągiem rosnącym

zombi: Dokładnie!

Izydor: Nic właściwie trudnego .

zombi: Całość sprowadza się do tego, żeby na końcu ustalić znak nierówności naszego wyrażenia. Jeśli ujemne to a_n+1−a_n < 0 ⇔ a_n − malejący, natomiast jeśli wyrażenie jest dodatnie, wtedy a_n+1 − a_n > 0 ⇔ a_n − rosnący

Izydor: Dziękuje za pomoc.