Zadanie z granicą
msuj: Cześć, mógłby ktoś pomóc z zadaniami?
1. Znaleźć granicę a
n
lim = a
n
n−>
∞
| | 1 | | 1 | | 1 | |
an= |
| + |
| +...+ |
| |
| | √n2+1 | | √n2+2 | | √n2+n | |
2. Znaleźć granicę x
n
c>0
x
1=
√c
x
2=
√c+√c
x
n=
√c+√c+√c i tak n razy (to jest pierwiastek z c + (pierwiastek z c + pierwiastek z
c) i tak dalej)
20 lis 14:39
msuj: ktoś coś?
20 lis 18:45
Hugo: 1. 1/oo = 0
2. oo + oo = oo
20 lis 18:59
msuj: Wydawałoby się za łatwe, co nie?
20 lis 19:08
zombi: 2.
x
n+1 =
√c+xn, pokażemy że jest rosnący i ograniczony z góry
Rosnący (indukcyjnie)
x
2 =
√c+x1 =
√c+√c >
√c = x
1.
Zał x
n−1 < x
n.
Wówczas
x
n+12 − x
n2 = (c+x
n)−(c+x
n−1) = x
n − x
n−1 > 0. Czyli x
n − rosnący
Ograniczony z góry przez weźmy
√1+4c.
Indukcyjnie znowu
x
n <
√1+4c
x
n+1 =
√c+xn <
√c+√1+4c <
√1+4c, bo
√c+√1+4c <
√1+4c /
2
c+
√1+4c < 1+4c ⇔
√1+4c < 1+3c /
2
1+4c < 1 + 6c + 9c
2 ⇔ 9c
2+2c > 0, więc okej jest.
Konkluzja:
x
n jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, wobec tego musi posiadać granicę, czyli
lim x
n+1 = lim
√c+xn, niech lim x
n = g, wówczas
g
2 = c + g ⇔ g
2 − g − c.
| | 1+√1+4c | |
g1 = |
| > 0, więc to jest szukana granica |
| | 2 | |
| | 1−√1+4c | |
g2 = |
| < 0, to nie, bo jest ujemna. |
| | 2 | |
20 lis 19:44
msuj: dzięki
20 lis 19:46