oblicz pochodne i rozwiąż równania f'(x) =0 i f''(x)=0 Sylwia: Licząc f'(x) i f''(x) − jak wykazać że f'(x) =0 i f''(x)=0 przykład f(x) = x√1−x²

J: podstawić do wyliczonych pochodnych: x = 0

J: Ty masz obliczyć kiedy: f'(x) = 0 oraz kiedy: f"(x) = 0 , a nie wykazać

Sylwia: tak obliczyć a nie wykazać może poproszę pełne rozwiązanie tego zadania

Sylwia: f'(x) = √1−x² −^x2_√1−x² i jak mam rozwiązać równanie że powyższa funkcja =0

Sylwia: rozumiem że mam podać kiedy x=0 ? czy tak mam interpretować treść zadania "oblicz pochodne i rozwiąż równania f'(x) =0 i f''(x)=0" i jak to obliczyć w tym przykładzie ?

J: f(x) = (x² − x⁴)^1/2

	1
f'(x) =		(x2 − x4)−1/2*(2x − 4x3)
	2

f'(x) = 0 ⇔ (2x − 4x³) = 0 ⇒2x(1 − 2x²) = 0 ⇔ ... ?

J: masz znaleźć te argumenty, dla których pochodne się zerują

Sylwia: to teraz mnie załamałeś Już nic nie kumam a myślałam że dobrze mi szło pozbyłeś się pierwiastka podnosząc do potęgi potem liczysz pochodną ok, ale czy licząc moim sposobem źle wyliczam pochodną fakt nie wiem co dlaej zrobic z równaniem f'(x) = √1−x2 −x2√1−x2 = 0

J: no pewnie ,ze źle .. przecież to iloczyn dwóch funkcji: f(x) = x*√1−x²

Sylwia: źle napisałam równanie chodziło mi o √1−x² − ^x2_√1−x² = 0 jak wyliczyć kiedy x zeruje tą funkcję

J:

	1
Twoim sposobem: f'(x) = √1−x2 +
	√1−x2

	1
teraz podstaw: t = √1−x2 .. i masz: t +		= 0 .. i rozwiązuj
	t

J: tam ma być znak: "−' , a nie "+"

Sylwia: zgadza się iloczyn dwóch funkcji której wynik wyszedł mi jak powyżej a druga pochodna, czyli pochodna z f'(x)= √1−x² − ^x2_√1−x² wyszło mi równanie licznik ^2x2−x_√1−x² −2√1−x² mianownik 1−x² i zupełnie nie wiem czy mogę to zostawic w takiej postaci czy dalej to jakoś przekształcać ?

Sylwia: mówisz że znaki pomieszałam już sprawdzam

J: u mnie o 13:34 ma być "−"

Sylwia: czemu w liczniku masz jeden a nie x² ? pochodna z funkcji √1−x² = ¹_2√1−x² (1−x²)' = ¹_2√1−x² (0−2x) = = −2x ¹_2√1−x² = ^x_p{1−x² czyli całość wychodzi pochodna x√1−x² pochodna równa się √1−x² − ^x2_√1−x² czyli gdy chcę za √1−x² = t mam działanie t− ^x2_t =0 czy tak

J:

	1
f'(x) = 1*√1−x2 + x*		*(−2x) = .. uporządkuj
	2√1−x2

Sylwia: jeżeli poprawnie wykonałam zadanie to x= √¹₂ dla f ' (x) =0 przywracasz mi wiarę że jednak coś umiem − dziękuję z pochodną drugą zaraz spróbuję się uporać a pytanie mam jeszcze z innymi przykładami co robimy z końcową postacia wyliczania pochodnej gdy nam zostaje −2e⁻2x (x+1) czy mogę zostawić w tej postaci i podać że ta funkcja równa się 0 gdy x=−1 czy raczej musze zająć się jeszcze liczbą e do potęgi −2x?

J: popatrz 13:19 ... i ustal, kiedy: f'(x) = 0 ?

J:

	2
jeśli: f'(x) = −2*e−2x(x+1) = −		(x+1) , to: f'(x) = 0 ⇔ x = − 1
	e−x

Sylwia: rozumiem tylko nie bardzo wiem jak radzić sobie z liczbą e

J: w jakim sensie ?

Sylwia: jak ją traktować

Sylwia:

J: e ≈ 2,71 (stała)

Sylwia: bo iloczyn wiadomo że równa się zero gdy to co w nawiasie równa sie zero i wtedy już łatwo policzyć Ale w innych przykładach ?

J: iloczyn jest równy 0 , gdy przynajmniej jeden czynnik jest równy 0

Sylwia: rozumiem że to liczba tylko jeżeli w wyniku wychodzi np e do potęgi x czy x−3 to wyliczając niewiadomą x ten x z potęgi ma znaczenie

Sylwia: bo wynik w przykładach nie zawsze będzie iloczynem ? nie mam innego przykładu wyliczonego pytam profilaktycznie co robić w takich sytuacjach gdy mamy np sumę dowolną i jednym ze składników tej sumy jest nasz e np. e do potęgi x−2

Sylwia: czy wtedy ten x z potęgi ma znaczenie czy traktujemy to jako liczbe gdy mamy wyliczoną niewiadomą x

J: e^x > 0 dla dowolnego x

Sylwia: ok . dziękuję za pomoc a jeszcze pytanie z (ln x)² liczę sobie pochodną stosując wzory i super i znowu pochodna =0 przykład ^{2x( ln x )−x}_{( ln x )²} to jest już pochodna i mam wyliczyć ile równa sie x czy w przypadku logarytmów także mogę podstawić t i rozwiązać równanie

Sylwia: jak mam z takiego przykładu wyliczyć kiedy ta funkcja jest równa zero

J: 2x(lnx) − x = 0 ⇔ x(2lnx − 1) = 0

Sylwia: czyli wystarczy że napiszę gdy x=0 funkcja =0

J:

	1
a przy okazji...to: [(lnx)2]' = 2lnx*
	x

J:

	1
x = 0 lub lnx =
	2

Sylwia: czyli korzystamy ze wzoru [f(y)] ' = f' y' ok. przykład funkcji jest f(x) = ^x2_{ln x} czyli f ' (x) = ^x(2lnx−1)_(lnx)² i f'(x) = 0 gdy x =0 Tak dobrze ? a teraz mam z tej pochodnej wyliczyć drugą pochodną i wyszło mi w liczniku ( ²_x −1 )lnx² − (2xlnx−x) ²_x a w mianowniku lnx⁴ i jak teraz mam wyliczyć kiedy ta f '' (x) = 0

Sylwia: a rozumiem czyli muszę określić także dla jakiego logarytmu funkcja =0

J: nie: x(2lnx − 1) = 0 ⇔ x = 0 lub 2lnx − 1 = 0

J: nie dla jakiego logarytmu, tylko dla jakiego x

Sylwia: a co z mianownikiem lnx ² nie będzie równy zero wystarczy że napiszę zależności kiedy licznik równy jest zero bo gdy licznik równy zero to teoretycznie mianownik nie jest istotny bo całość i tak =0

J: masz duże braki ... mianownik nie może się zerować

Sylwia: dobrze a 2lnx−1 =0 to jest odp czy muszę to jeszcze jakoś wyliczyć

J:

	1
⇔ lnx =		⇔ x = e1/2
	2

Sylwia: gdybym nie miała braków nie było by mnie na tym forum dziękuję za wyjaśnienia jak widzisz próbuję nadrobić braki a nie czekam na gotowe odp które mi nie pomogą chcę dojść jak rozwiązać takie przykłady wszystko idzie ok do momentu kiedy mam zaległości i jak wiadomo matematyka jest przedmiotem gdzie jedno wynika z drugiego i jak pominiesz temat to leżysz stąd wynikają moje może niemądre pytania ale dzięki nim mogę ruszyć dalej tak wiec dziękuję za wyrozumiałość

J: i to się chwali

Sylwia: rozumiem że mogę męczyć cię dalej dziękuję

J: dzisiaj już nie , ale są inni pomagający na forum

Sylwia: przy funkcjach kwadratowych aby sprawdzić kiedy funkcja = 0 mogę skorzystać ze wzorów na obliczenie x₁ i X₂ czy przy tych x funkcja będzie równa 0 i to jest odpowiedz, czy źle rozumuję