zbieznosc ciagu rekurencyjnego Bogdan: Mam pytanie odnosnie liczenia zbieznosci ciagow rekurencyjnych. Pokaze na przykladzie, mam ciag a_n+1 = √5+a_n, a₁ = √5 Chce pokazac, ze ciag jest niemalejacy, tworze nierownosc: a_n+1 ≥ a_n √5+a_n ≥ a_n | ()² 5+a_n ≥ a_n² a_n² − a_n − 5 ≤ 0 po obliczeniu pierwiastkow otrzymuje przedzial: n ∊ < (1−√21)/2,(1+√21)/2 >, czyli biorac pod uwage ze eny sa naturalne wychodzi na to, ze ciag jest rosnacy jedynie do 2 wyrazu? Czegos tu chyba nie rozumiem, prosilbym o wytlumaczenie tej kwestii, z gory dziekuje.

Godzio: Taką rzecz chyba najłatwiej indukcyjnie pokazać. a₁ = √5 a₂ = √5 + √5 > √5 + 0 = √5 = a₁ ⇒ a₂ − a₁ > 0 Załóżmy, że a_{n + 1} − a_n ≥ 0, pokażemy, że a_{n + 2} − a_{n + 1} ≥ 0 Dowód: a_{n + 2} − a_{n + 1} = √5 + a_{n + 1} − √5 + a_n =

	5 + an + 1 − 5 − an
=		=
	√5 + an + 1 + √5 + an

	an + 1 − an
=		≥ 0
	√5 + an + 1 + √5 + an

Z założenia licznik jest nieujemny, natomiast mianownik jest dodatni. Stąd ciąg jest niemalejący.

Bogdan: Dzieki wielkie, chociaz nadal zastanawia mnie matematyczne uzasadnienie czemu moja nierownosc nie dziala

ICSP: Nierówność masz dla a_n , nie dla n.