Wyznacz wszystkie wartości a
Maciek: Witam wszystkich bardzo serdecznie
Piszę z prośbą o dokładne rozwiazanie następującego zadania:
Wyznacz wszystkie wartości a, dla których równanie
|x−1|+|x−2|+|x−3|+...+|x−4003|=a
ma dokładnie jedno rozwiazanie.
Pozdrawiam wszystkich gorąco i z góry dziekuje !
PW: Spróbujmy zacząć.
Gdyby x ≥ 4003, to wszystkie x
k − k , k = 1, 2, 3, ..., ,4003 byłyby nieujemne, a więc
równanie przyjęłoby postać
(0) x − 1+ x − 2 + x − 3 + ... + x − 4003 = a, x∊<4003,
∞)
(1) 4003x = a + (1+2+3+...+4003).
Umiemy policzyć sumę po prawej stronie, ale dla odpowiedzi na pytanie o liczbę rozwiązań
równania (1) nie ma znaczenia jej wielkość. Równanie (1) rozpatrywane na całej osi jest
równaniem liniowym, niezależnie od a i od wielkości sumy w nawiasie ma ono dokładnie jedno
rozwiązanie
| | a + (1 + 2 + 3 + ... + 4003) | |
(2) x0 = |
| . |
| | 4003 | |
Jednak aby liczba (2) była rozwiązaniem równania (0), musi należeć do przedziału <40003,
∞).
Sprawdzenie tego wymaga więc policzenia sumy
| | 4003 + 1 | |
1 + 2 + 3 + ... + 4003 = |
| ·4003 = 2002 ·4003. |
| | 2 | |
Widać więc, że
| | a + 2002·4003 | | a | |
x0 = |
| = |
| + 2002. |
| | 4003 | | 4003 | |
| | a | | a | |
x0∊<4003,∞) ⇔ 4003 ≤ |
| + 2002 ⇔ 2001 ≤ |
| ⇔ a ≥ 2001·4003. |
| | 4003 | | 4003 | |
To był szczególny przypadek (dla x ≥ 4003).
Zastanówmy się teraz, jak zmieni się powyższe rozumowanie gdy weźmiemy
x∊<k, k+1), k ∊<1, 4003).
Różnice
x − 1, x − 2, ..., x − k
będą nieujemne, a pozostałe różnice
x − (k+1), x − (k+2, x − (k+3), ..., x − 4003
będą ujemne. Równanie przyjmie postać
x −1 + x − 2 + ... + x − k − x + k+1 − x + k+2 ... − x + 4003 = a
Czy potrafisz dokończyć? Rozumowanie jest podobne do wcześniejszego, tylko osobno trzeba
policzyć iksy ze znakiem minus i osobno ze znakiem plus oraz osobno sumę ciągu o wyrazach
dodatnich i sumę ciągu o wyrazach ujemnych.
Mila:
Witaj
Pw
Analizowałam równania, aby ustalić prawidłowość, ale na razie nic nie wymyśliłam.
Moje obserwacje:
1)
|x−1|=a jedno rozwiązanie dla a=0
2) |x−1|+|x−2|+|x−3|=a jedno rozwiązanie dla a=2
3)|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+|x−5|=a jedno rozw. dla a=6
4)|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+|x−5|+|x−6|+|x−7|=a jedno rozw. dla a=12
5)|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+|x−5|+|x−6|+|x−7|+|x−8|+|x−9|=a jedno rozw. dla a=20
6) |x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+|x−5|+|x−6|+|x−7|+|x−8|+|x−9|+|x−10|+|x−11|=a jedno rozw. dla a=30
7)|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+|x−5|+|x−6|+|x−7|+|x−8|+|x−9|+|x−10|+|x−11|+|x−12|+|x−13|=a jedno
rozw. dla a=42
8)|x−1|+|x−2|+|x−3|+|x−4|+|x−5|+|x−6|+|x−7|+|x−8|+|x−9|+|x−10|+|x−11|+|x−12|
+|x−13|+|x−14|+|x−15|=a
jedno rozw. dla a=56
Pozdrawiam.
