Rówanie wielominaowe z wartoscią bezwzględną Andrzej: |x³−x²|=x Witam Czy liczę najpierw miejsca zerowe wyrażenia w module, potem wychodzą trzy przedziały i licze część wspólną? i czy rozwiązania to x=0,x=1−√5/2,x=1+√5/2

PW: Zauważamy najpierw, że x₀ = 0 jest rozwiązaniem. Dalej stwierdzamy, że żadna z liczb x < 0 rozwiązaniem nie jest (bo lewa strona z definicji nieujemna, a prawa ujemna). Pozostaje szukanie rozwiązań dla x > 0. Badane równanie ma postać |x²(x − 1)| = x, a więc należy rozpatrzeć dwa przedziały: − dla x ≥ 1 mamy do czynienia z równaniem x²(x−1) = x, x∊<1,∞), a dla pozostałych dodatnich x – z równaniem − x² (x −1) = x, x∊(0, 1). W obydwu wypadkach można obie strony podzielić przez dodatnią x, a więc wystarczy rozwiązać równania: (1) x(x − 1) = 1, x∊<1,∞), (2) − x(x−1) = 1, x∊(0, 1). (1') x² − x − 1 = 0, x∊<1,∞), (2') x² − x + 1 = 0, x∊(0, 1).

	1+√5
Rozwiązaniem równania (1') jest tylko liczba x1 =		, a równanie (2') nie ma
	2

rozwiązań (Δ < 0).

	1+√5
Odpowiedź: Zadane równanie ma dwa rozwiązania: x0 = 0 i x1 =		.
	2

Morał: Nie szukać rozwiązań tam, gdzie ich nie ma (wśród liczb ujemnych), a jeżeli podchodzimy do zadania "mechanicznie" analizując je na wszystkich nasuwających się przedziałach, to pamiętać o dziedzinach (jak w (1') i (2'), aby nie zaliczyć do rozwiązań liczb spoza dziedzin).

ZKS: |x³ − x²| = x Założenie x ≥ 0 x³ − x² = x ∨ x³ − x² = −x x(x² − x − 1) = 0 ∨ x(x² − x + 1) = 0