monotoniczność bimbam: hej

	2n − √n
jeśli mam zbadać monotoniczność ciągu an=		to mam to mnożyć przez
	5n

2n + √n
2n + √n

Taka jest metoda na badanie takich ciągów, czy może po prostu powinienem podstawić za n+1 bez

	2n + √n
mnożenia przez
	2n + √n

PW: Zadanie staje się łatwe, gdy zauważyć że

	2n		√n
an =		−
	5n		5n

	2		1
an =		−		.
	5		5√n

Badamy różnicę

	2		1		2		1
ak+1 − ak = (		−		) − (		−		) =
	5		5√k+1		5		5√k

	1		1		√k+1 − √k
=		−		=		> 0.
	5√k		5√k+1		5√k+1√k

Nierówność jest oczywista (licznik dodatni i mianownik dodatni). Wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby naturalnej k spełniona jest nierowność a_k+1 − a_k > 0, co oznacza że ciąg jest rosnący.

PW: Można nie tak formalnie i dużo szybciej opowiedzieć tak:

	2		1
an =		−		,
	5		5√n

ułamek

	1
	5√n

maleje ze wzrostem n (mianownik staje się coraz większy, a więc ułamek maleje). Oznacza to, że

	2
im większe n, tym mniej odejmujemy od		, czyli an jest coraz większe.
	5

To tak "dla siebie". Matematyk chciałby żeby powiedzieć

	2		1
− Różnica ciągu stałego		i malejącego		jest ciągiem rosnącym.
	5		5√n

bimbam: dzięki PW