Zbiór wartości Nabzdyczony: Znajdź zbiór wartości funkcji y=(18x−5x²−20)/x²+4

M:

N: ZW=[−19/2; −1/2]

Li Mo : Dobry wieczór W książce Jan Leśniak O funkcjach jednej zmiennej 4. Zbiór wartości

	w(x)
Przy wyznaczaniu zbioru wartości funkcji wymiernej		badamy czy dowolnie obrana
	v(x)

liczba rzeczywista (s) należy czy też nie należy do zbioru wartośći naszej funkcji

	w(x)
Badanie to sprowadza się do rozwiązania równania		=s które jest równoznaczne
	v(x)

równaniu

	w(x)−s*v(x)
		=0 *(1)
	v(x)

Ponieważ funkcja w(x)−s* v(x) jest równowartościowa z odpowiednim wielomianem u(x) więc równanie *(1) jest równoważne równaniu

	u(x)
		=0 *(2)
	v(x)

Zbiorem wszystkich pierwiastków równania *(2) jest zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji

	u(x)
wymiernej
	v(x)

a to umiemy . Przykład

	1
Celem wyznaczenia zbioru wartości funkcji		gdzie w(x)=1 i v(x)=x−1 tworzymy
	x−1

równanie

1
	=s (s jest dowolną liczbą rzeczywistą )
x−1

	1−s(x−1)
Równanie to jest równoważne równaniu		=0 które jest równoważne równaniu
	x−1

	−sx+(1+s)
		=0
	x−1

Rozwiązanie ostatniego równania otrzymujemy z rozwiązania równania −sx+(1+s)=0 po odrzuceniu miejsc zerowych wielomianu v(x)= x−1 to jest liczby 1.

	1+s
Jeżeli s≠0 to równanie −sx+(1+s)=0 posiada tylko jeden pierwiastek który jest równy
	s

Jeśli s=0 to równanie −sx+(1+s)=0 nie posiada ani jednego pierwiastka (bo jest 1=0 ).

	1+s
Ponieważ dla s≠0 liczba		nie jest miejscem zerowym wielomianu v(x)=x−1 więc zbiorem
	s

	1
wartości tej funkcji wymiernej		sa wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera
	x−1

No to weżmy naszą funkcje wymierną

−5x2+18x−20
	i Df=ℛ
x2+4

w(x)=−5x²+18x−20 v(x)=x²+4 (nie posiada miejsc zerowych) Tworzymy równanie

−5x2+18x−20
	=s (s dowolna liczba rzeczywista )
x2+4

Równanie to jest równoważne równaniu

−5x2+18x−20−s*(x2+4)
	=0
x2+4

To równanie jest równoważne równaniu

−5x2+18x−20−sx2−4s
	=0
x2+4

Rozwiązanie ostatniego równania otrzymujemy rozwiązując równanie −5x²+18x−20−sx²−4s=0 1) s=0 −5x²+18x−20=0 Δ=324−400<0 (nie ma pierwiastków 2) s≠0 −5x²+18x−20 −sx²−4s=0 −5x²−sx²+18x−20−4s=0 (−5−s)x²+18x−20−4s=0 (−5−s)x²+18x−4(5+s)=0 Teraz co dalej robimy?

chichi: a kiedy równanie kwadratowe ma rozwiązanie?

η:

−5x2+18x−20
	=s
x2+4

(s+5)x²−18x+4(s+5)=0 Δ≥0 324−16(s+5)²≥0 / : (−4)

	81
(s+5)2−		≤0
	4

	9		9
(s+5−		)(s+5+		)≤0
	2		2

	19		1
s∊[ −		,−		]
	2		2

ZW=s

chichi: dwie ostatnie linijki razem nie mają sensu logicznego

η: które?

η:

	19		1
ZW=[−		,−		]
	2		2

Li Mo : Już coś czaję Dziękuje za pomoc .

Lady in black: Dzień dobry . Mam pytanie do wpisu η z godz 00 : 03 Nie rozgraniczył tam na s=0 i s≠0 tylko napisał (s+5)x²−18x+4(s+5) =0 To rozumiem dlaczego

	19		1
Po rozwiązaniu jest ZW=[−		,−		]
	2		2

Natomiast dla s=−5 mamy równanie liniowe Więc co z tym (−5) ? Dlaczego jest uwzględniony w zbiorze wartosci ? Pytanie następne Dotyczy wpisu z 23 : 48

	1+s
A co będzie gdyby jednak sie okazało ze dla s≠0 liczba		byłaby jednak miejscem
	s

zerowym jakiegos wielomianu? Wyrzucamy ja wtedy ze zbioru wartośći funkcji ?

chichi: s = −5, czyli wartość równa (−5) zgodnie z tym równaniem jest przyjmowana dla x = 0, co się nie zgadza? nie rozumiem ostatniego pytania, wygląda jakbyś mylił argument z parametrem, który jest w tym przypadku wartością funkcji, bo tak zażądałeś

Lady in black: Ok