Prosze o pomoc Olka: Wykaż, że (a+b+c)³+(a+b−c)³+(c−a−b)³+(b−a−c)³=24abc

PW: Teza nie jest prawdziwa, popraw treść zadania. Wystarczy podstawić same jedynki, lewa strona jest równa 3³+1³−1³−1³ = 26.

:): miało być zapewne (a+b+c)³+(c−a−b)³+(b−a−c)³+(a−b−c)³=24abc czyli 2 drugim nawiasie a−b..

:): (a+(b+c))³=a³+3a²(b+c)+3a(b+c)²+(b+c)²=a³+3a²c+3a²b+3ab²+6abc+3ac²+b²+2bc+c² i pozostałe też tak należy rozpisać i najwidoczniej sie poupraszcza.. MIłej zabawy (c−a−b)³=(c−(a+b))³=c³−3c²(a+b)+3c(a+b)²−(a+b)³ itd..

:): tam w 1 linicje mialo być (b+c)³ i potem konsekwentnie..... No troche roboty będzie!

PW: Też sądzę, że drugi składnik ma postać (a−b−c)³. Zauważmy, że liczby x = a+b+c, y = a−b−c, z = c−a−b i t = b−a−c spełniają warunek (1) x+y+x+t = 0, wobec czego ((x+y) + (z+t))³ = 0 (x+y)³ + 3(x+y)²(z+t) + 3(x+y)(z+t)² + (z+t)³ = 0 (x+y)³ + (z+t)³ + 3(x+y)(z+t)(x+y+z+t) = 0, skąd wobec (1) wynika (x+y)³ + (z+t)³ = 0, x³+y³+z³+t³ + 3x²y+3xy² = 3z²t + 3zt² = 0, (2) x³+y³+z³+t³ = −3[xy(x+y) + zt(z+t)]. Policzmy: xy(x+y) = [a+(b+c)][a−(b+c)](a+b+c+a−b−c) = [a² − (b+c)²]·2a zt(z+t) = [(c−b) −a][−((c−b)+a)](−2a) = −[(c−b)² − a²](−2a) = [(c−b)²−a²]2a, zatem −3[xy(x+y) + zt(z+t)] = −3·2a[a² −(b+c)²]+(c−b)² − a²] −3[xy(x+y) + zt(z+t)] = −6a(a² − b² − 2bc − c² + c² −2bc + b² − a²) −3[xy(x+y) + zt(z+t)] = −6a(−4bc) −3[xy(x+y) + zt(z+t)] = 24abc. Podstawienie do (2) kończy dowód.

PW: Korekta: (1) x + y + z + t = 0.

daras: ciekawe jaka była pierwotna wersja i czy...kogoś to jeszcze obchodzi ?

Olka: Tak, racja pomyliłam się w przepisywaniu, dziękuje bardzo