Fk 123: Dla jakich wartości parametru m równanie x²+2(m − 3)|x|+m² − 1=0 ma 3 różne rozwiązania? Dla znalezionej wartości parametru m podaj rozwiązania tego równania. Błagam aby ktoś mi to wytłumaczył, raz a dobrze, żebym pamiętała to na zawsze.

ICSP: Jednym z rozwiazań musi być 0. Czyli m moze być równe 1 albo −1. Wystarczy ręcznie sprawdzić te dwa przypadki.

123: Dlaczego musi być 0?

ICSP: Najpierw zastanów się nad liczbą rozwiązań równania : |x| = a w zależności od a.

123: Podstawilam sobie ze |x|=t. Jednym z warunków będzie Δ>0 ?

ICSP: W tym zadaniu nie trzeba tworzyć warunków, wystarczy zwyczajnie pomyśleć.

123: Możesz coś więcej powiedzieć? Kompletnie nie wiem jak to zrobić.

ICSP: Zadałem Ci wyżej proste pytanie. Zakładam, że znasz odpowiedź. Mamy teraz równanie : (*) t² + 2(m−3)t + m² − 1 = 0 Jako równanie kwadratowe moze mieć ono : 1) 0 pierwiastków 2) 1 pierwiastek 3) 2 pierwiastki Przypadkiem 1) nawet nie ma co się zajmować 2) Jeżeli równanie (*) ma 1 pierwiastek to liczba rozwiązań x może byc równa albo 0 albo 1 albo 2 czyli za mało bo mamy mieć 3 różne rozwiązania. 3) Równanie (*) ma 2 pierwiastki. Wtedy liczba rozwiązań x moze być równa 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pytanie: Jak muszą wyglądać pierwiastki aby liczba rozwiązań wynosiła 3.

123: Jeden pierwiastek zero a drugi dodatni?

ICSP: Dokładnie.

123: Tylko jak to zapisać?

ICSP: Najprościej jak się da: Równanie (*) będzie miało dwa rozwiązania wtedy gdy t₁ = 0 oraz t₂ > 0 (t₁ + t₂> 0) . Z t₁ = 0 dostajemy równosć : m² −1 = 0 ⇒ m = ±1 Wystarczy zatem rozważyć dwa przypadki: 1^o ...

PW: Nie zapisać, ale narysować. Rozpatrywane równanie |x|² + 2(m − 3)|x| + m² − 1 = 0 ma rozwiązania symetryczne względem 0 (jeżeli x₁ jest rozwiązaniem, to również − x₁ nim jest). Stąd wynikają spostrzeżenia ICSP z 18:42. Jeżei mają być 3 rozwiazania, to muszą być nimi −x₁, 0, x₁.