Granicusie Przemysław: Proszę o sprawdzenie liczę kolejną granicę:

(n!)2		1*2*...*n
	=		=U{1*...*n}{(n+1)n−1[1*2*...*(
(2n)!		(n+1)*...*2n

	n
n−1)}=
	(n+1)n−1

	n		n
0≤		≤		→0
	(n+1)n−1		nn−1+1

z trzech ciągów szukana granica wynosi zero.

Godzio: Te równości dość dziwne

Przemysław: Które z nich?

Godzio: Druga równość, co tam się wydarzyło?

Przemysław: Masz rację, coś dziwnego. Musze jeszcze raz pomyśleć

Przemysław: To może od razu po 1. równości jakoś tak:

1		2		n
	*		*...*
n+1		n+2		2n

i przejść z n do nieskończoności? No nie wiem, już chyba pójdę spać, bo słabo myślenie idzie

zombi:

(n!)2		1
	=		,
(2n)!		2n n

ale

2n n
	→ ∞

Godzio: Może lepiej tak:

	n!
... ≤		→ 0
	(n+1)n

Godzio: zombi pozamiatał

Przemysław:

	2n n
a czemu		→∞

Przemysław:

	n!
I jak już przy tym jesteśmy, to czemu		→0?
	(n+1)n

zombi:

	n!		n!		1
Ad2.		≤		=		→ 0.
	(n+1)n		(n+1)!		n+1

	2n n
Ad1. Możesz pokazać, że ciąg an =		jest rosnący i pytanie czy jest ograniczony?

Godzio:

n!		n!
	≤		→ 0
(n + 1)n		nn

	an+1
Można to pokazać np. korzystając z faktu, że jeżeli		→ g < 1 to an → 0
	an

Przemysław: @zombi Ad 2. Dlaczego (n+1)ⁿ≥(n+1)! ? @Godzio

an+1
	→0<1 dobrze?
an

a jak pokazać słuszność tego kryterium?

Godzio:

an+1		1
	→		< 1 (z tego co pamiętam)
an		e

Zaraz Ci napiszę dowód

zombi: (n+1)*...*(n+1) ≥ (n+1)*... *2, bo (n+1) ≥ k, gdzie k=2,3,...,n+1 Czy tylko mi się wydaje to prawdziwe bo późna pora?

Przemysław: Ad 1. Tego ograniczenia musi nie być, ale nie wiem, jak to pokazać. @Godzio To gdzieś w tym mam błąd

(n+1)!		nn		(n+1)nn		n
	*		=		=(		)n→0
(n+1)n+1		n!		(n+1)n+1		n+1

Godzio: Zapiszę całe kryterium,

	an + 1
Niech an > 0 oraz		→ g < 1 wówczas an → 0
	an

Dowód. Ustalmy ε > 0. Istnieje miejsce N, takie że dla każdego n > N mamy

	an+1
|		− g| < ε
	an

	an + 1
g − ε <		< g + ε
	an

(g − ε)a_n < a_{n + 1} < (g + ε)a_n Lewa strona jest oczywiście dodatnia 0 < a_{n + 1} < (g + ε)a_n Otrzymujemy zależność rekurencyjną, pociągnijmy ją dalej: 0 < a_n+1 < (g + ε)a_n < (g + ε)²a_n < ... < (g + ε)^{n − N + 1}a_N Ponieważ g < 1 to dobierając ε taki by g + ε < 1 mamy (g + ε)^{n − N + 1}a_N = (g + ε)ⁿ * (g+ε)^{1 − N}a_N → 0 * (g+ε)^{1 − N}a_N = 0 Z twierdzenia o trzech ciągach mamy, że a_{n + 1} → 0 czyli to co mieliśmy pokazać.

Godzio: W przejściu granicznym masz błąd,

	n		1
(		)n = (1 −		)n → e−1
	n+1		n + 1

Przemysław: @zombi nie no, masz rację, skoro każdy czynnik silni jest mniejszy lub równy każdemu czynnikowi potęgi, to zajdzie ta nierówność. Dziękuję

Przemysław: @Godzio No tak, bo jak tak przejdę, to nieoznaczoność 0^∞ mam

Przemysław: Dziękuję Wam bardzo. Teraz już chyba pójdę lepiej spać