zadanie kevs: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że x+y=a, gdzie a ∊(0;2), zachodzi nierówność:

1		1
	+		≥a
x		y

Pomoże ktoś ? Najlepiej jakoś objaśnione ładnie Ja zrobiłem do postaci :

y+x
	≥a
xy

Dalej chciałem dać (y+x)xy≥a, ale nie wiem czy tak można.

ICSP: Nie można.

kevs: No właśnie, a mógłbyś jeszcze jakoś pomóc ?

ICSP: Możesz przemnożyć przez xy >0. Potem dwkurtonie wykorzystaj swoje założenie.

kevs: Pomnożyłem, faktycznie umknęło mi to, że xy>0. A co znaczy dwukrotnie wykorzystaj założenie ?

ICSP: założenie to : x+y = a

kevs: Tak, ale co znaczy dwukrotnie wykorzystać założenie ? W sensie w jaki sposób ? Doszedłem do postaci : x+y≥axy mam podstawić za x+y = a ? a≥axy /:a 1≥xy Czy można w takim dowodzie po prostu coś podstawić z założenia ? I czy ta ostatnia postać, którą zapisałem kończy dowód ?

ICSP: Trzeba wykorzystywać załozenie, przecież na tym polegaja takie dowody. Raz już wykorzystałeś teraz : x + y = a ⇒ x = y − a i masz : 1 ≥ y(y−a) Teraz musisz pokazać, że powyzsza nierówność jest spełniona dla dowolnego y >0 przy warunku a ∊ (0 , 2) .

:):

1		1		x		y		x+y		a
	+		=		+		=		=
x		y		xy		xy		xy		xy

	a
pytamy czy		≥a
	xy

	1
czyli czy		≥1
	xy

czyli czy 1≥xy skończ

:): a sorry,..nie zauwazylem ze do tego juz doszedłes.. No to skoncze w nagrode

:): zacodzi coś takiego

1
	+x≥2 (bo 1+x2≥2x⇔x2−2x+1≥0 ⇔(x−1)2≥0)
x

zatem

1		1
	+x+		+y≥2+2=4
x		y

1		1
	+		+x+y≥4
x		y

1		1
	+		+a≥4
x		y

1		1
	+		≥4−a
x		y

ale 4−a≥a jeżeli a∊(0,2) KONIEC troche inaczej niz zacząłem.ale takie mi przyszlo teraz do głowy

kevs: Dziękuję bardzo

kevs: W sumie ciekawy sposób

ICSP: trochę skomplikowanie

:): ale chyba najszybciej tak

ICSP:

	(x+y)2		a2		22
xy ≤		=		≤		= 1
	4		4		4

:): wygrałeś

kevs: ICSP jeszcze lepszy ten sposób

zombi: AM−HM

1		1		2		4
	+		≥ 2		=		≥ 2 koniec
x		y		x+y		a

:): już 3 niezależny pomysł. Fajnie

zombi: ≥ a na końcu

kevs: ICPS a skąd masz 4 w mianowniku ?

kevs: ICSP*

ICSP: faktycznie A₂ ≥ H₂ jest lepsze

kevs: Chodzi o sposób zombiego ? skąd tam jest prawa strona nierówności ?

zombi: Nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną dwóch liczb: https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy'ego_o_%C5%9Brednich Dla dwóch liczb ma postać

a+b		2		1		1
	≥		, u nas podstawiamy a =		, b =		,
2		1   1   + a   b		x		y

I mamy

1   1   + x   y		2		1		1		4
	≥		⇔		+		≥		, ale x+y = a, więc
2		x + y		x		y		x+y

1		1		4		4		4
	+		≥		=		, ale 0<a<2, więc		> a
x		y		x+y		a		a

kevs: Ciekawy sposób, poczytam o tym. A da się jakoś w miarę rozsądnie skończyć tamto moje rozwiązanie ? Z 19:14 ?

:): ICSP przecież skonczyl własnie tak 19−41

kevs:

	(x+y)2
A skąd się tam bierze zamiast 1		?
	4

:): Napisz jeszcze raz bo nie widać o co pytasz

:):

	x+y
√xy≤		Znany baardzo prosty fakt (do pierwszej nierówności)
	2

x+y=a a≤2 (x+y)²≤2²=4

kevs: zamiast 1 tak jak w mojej nierówności z 19−14 jest taki zapis jaki zapisałem przed chwilą

:): Zapisz dokładnie o co ci chodzi..widzisz..my sie rozpisaliśmy..a ty odsyłasz... Czekam

kevs: Skończyłem swój dowód na 1≥xy a nagle staje się u ICSP :

	(x+y)2
xy≤
	4

:):

	(x+y)2
xy≤		zachodzi ZAWSZE (gdy x,y≥0)
	4

	x+y
Napisałem ci, ze to wynika, z tego, ze √xy≤		\\podnosząc obie storny do kwadratu
	2

a to wynika z kolei z tego, ze 0≤(√x+√y)²=x−2√xy+y i widać, że 2√xy≤x+y i koniec

kevs: No tak, ale nastąpiła taka nagła zmiana nierówności. 1≥xy bez żadnych przekształceń. Tego nie łapię

:):

	(x+y)2
xy≤		Zachodzi zawsze!
	4

U ciebie x+y=a zatem

	a2
xy≤
	4

Z założenia a≤2 zatem a²≤4 zatem

	4
xy≤
	4

zatem xy≤1

kevs: Ale ICSP kończy dowód na xy≤1, prawda ? Czyli tym samym co ja zapisałem. Czy taki zapis wystarczy ?

:): no tak..pokazał, ze xy≤1. A ty (czy np ja o 19−29) pokazałem, ze takie coś wystarczy pokazać

kevs: Dziękuję. Teraz rozumiem. Zamieszałem się strasznie z tym ≥ na miejscu gdzie powinno być = w jego zapisie.

:): spoko. TO znaczy ze koniec matmy na dzis !

kevs: Trzeba iść spać bo niestety trzeba bardzo wcześnie wstawać :< Trzymajcie się i dzięki za pomoc