Zbieżność Przemysław: Proszę o sprawdzenie: Pokazać, że ciąg x_n jest zbieżny (z zupełności |R):

	1		1
xn=1+		+...+
	22		n2

warunek Cauchy−ego: ∀_ε∃_N∊ℕ∀_n>m>N |x_n−x_m|<ε

	1		1
|xn−xm|=|1+...+		−1−...−		|=
	n2		m2

	1		1		1
=|		+...+		|=|U{1}{(m+1)2(1+...+		)|
	(m+1)2		n2		(n−m−1)2

	1
Rozważę teraz tę sumę: 1+...+		)
	(n−m−1)2

	1
jest ona postaci: ∑
	i2

	1		1
wiadomo, że ∑		<∑
	i2		i2−1

	1
Z zaburzenia ∑		dostaję:
	i−1

	1		1
∑		=1−
	i2−1		n

Kontynuując badanie |x_n−x_m|:

	1		1		1
...<|		(1−		)|<
	(m+1)2		n		(m+1)2

wstawiając do definicji:

	1
∀ε∃N∊ℕ∀n>m>N		<ε
	(m+1)2

ma być więc:

	1
0<m2+2m+1−
	ε

	4		4
Δ=4−4+		=
	ε		ε

	2
√Δ=
	√ε

	2   −2+   √ε		1
m1=		=−1+
	2		√ε

	1
m2=−1−
	√ε

więc wystarczy wziąć:

	1
N=[−1+		]+1
	√ε

by otrzymać tezę ⇒x_n jest ciągiem Cauchy−egu⇒x_n jest zbieżny

:): Równość w linijce przed: "Rozważę teraz tę sumę.." jest wątpliwa

Przemysław: Dobra, wiem, gdzie namieszałem:

	1		1
∑ai=1		=1−
	i2−1		a

u nas a=n−m−1 czyli dalej:

	1		1		1
...<|		(1−		)|<
	(m+1)2		n−m−1		(m+1)2

teraz lepiej? czy jeszcze o coś innego Ci chodziło?

Przemysław: Aha, dobra widzę − przepraszam.

Przemysław: To może tak:

	1
tym razem rozważyłem sumę: ∑ni=m+1		i mam:
	i−1

1

1

1

1

1

m

1

m

|

+...+

|<

−

<

(

−1)<

(

<1, bo m<n)

(m+1)2

n2

n

m

m

n

m

n

i teraz ma być:

1
	<ε
m

	1
m>
	ε

	1
N=[		]+1
	ε

ma to sens teraz?

Przemysław: Mógłby ktoś spojrzeć? Proooszę

:): Najprostsze rozwiązanie jest takie:

1		1
	≤		, n≥2
n2		n(n−1)

Zatem

	1		1		1		1		1		1		1
∑n=2		≤∑n=2		=		+		+....=1−		+		−		....
	n2		n(n−1)		2*1		2*3		2		2		3

	1
=1−		→0
	n

	1		1		1
bo		=		−
	n(n−1)		n−1		n

:): (czyli suma twojego szregu ≤1+(1−0)=2)

	1
tam powinno być 1−		→1 oczywiscie
	n

Przemysław: Czyli ograniczasz ciąg z góry. Ten większy ciąg jest zbieżny do 1, tak? Ale jak to pokazuje, że x_n jest zbieżny? No i chciałbym wiedzieć, czy tym sposobem z ciągami Cauchy−ego dobrze mam, bo wypadałoby żebym umiał...

Przemysław: To co pisałem odnosiło się do 13:06.

Przemysław: Dobra, czyli suma jest ≤2 więc jest ograniczony z góry − czyli wystarczy pokazać, że jest rosnacy i mam zbiezność, tak?

:):

	1		1		1
pokazałem ci, że yn=		+...		≤1−
	22		n2		n

	1
więc twój ciag xn≤1+1−
	n

:): taaaak, rosnący oczywsice jest..bo przybywa dodatncih wyrazów

Przemysław: Dobra, dziękuję. Przepraszam, że się tak dopominam, ale jeżeli możesz to spójrz jeszcze czy to co tam robiłem jest dobrze. Bo wiem, że powinienem to umieć

:): A jakbys bardzo chciał tym Cauchy to

1		1		1		1		1		1
	+...+		≤		+...+		=		−		(m>n)
(m+1)2		n2		m(m−1)		n(n−1)		m		n

	1		1
Więc biorąc za N, takie, że		−		≤ε dla każdego n
	N		n

	1		1
czyli		≤ε+		≤ε+1
	N		n

	1
czyli		≤N
	ε+1

:):

	1
czyli N=[		]+1 dobre.
	ε+1

:):

	1		1
Zauważ, że w 2 linijce..korzystamyz tego samego myku		≤
	m2		(m−1)m

:):

1		1		1
	=		−		//u ciebie sie zaczyna od m+1 ;)
m(m−1)		m−1		m

Przemysław: No dobra, jak oszacowanie mam to samo, to czemu ty masz

	1		1
N=[		+1] a ja: N=[		]+1
	ε+1		ε

To moje też jest dobre, czy nie bardzo? A tak w ogóle to dziękuję za tę obserwację:

1		1		1
	=		−
m(m−1)		m−1		m

wydaje się przydatne

:):

1		1
	<
ε+1		ε

	1		1
więc [		]≤[		]
	ε+1		ε

	1		1
więc [		]+1≤[		]+1
	ε+1		ε

więc ty też masz racje, ale bierzesz większe N (też dobrze)

Przemysław: Jasne. Jakoś mi się pomieszało, że moje jest mniejsze... I nie wiedziałem, czy nie za dużo mniejsze. Kurde... muszę się ogarnąć, bo coś kiepsko to idzie (myślenie) Dziękuję bardzo.

:):