granica ciągu ala: wykaż, że zdanie jest fałszywe: ciąg naprzemienny an=(−¹₂) ⁿ nie ma granicy

Przemysław: Sposób 1.: Ma granicę, bo jego granicą jest zero, co postaram się pokazać z definicji: ma zachodzić:

	1
∀ε>0∃N∊ℕ∀n>N |(−		)n|<ε
	2

Przekształcę tezę:

	1
|(−		)n|<ε
	2

1
	<ε
2n

1
	<2n
ε

	1
n>log2
	ε

	1
Żeby to było spełnione wystarczy, by: N=[log2		] +1
	ε

Sposób 2.: Pokażę, że ciąg jest ciągiem Cauchy−ego, więc (z zupełności |R) jest zbieżny. Ma zachodzić:

	1		1
∀ε>0∃N∊ℕ∀n>m>N |(−		)n−(−		)m|<ε
	2		2

	1		1		1		1
|(−		)n−(−		)m|≤|(−		)n|−|(−		)m|=
	2		2		2		2

	1		1		1		1
=		)n−		)m=		(U{1}{2n−m−1)≤
	2		2		2m		2m

	1		1		1
∀ε>0∃N∊ℕ∀n>m>N |(−		)n−(−		)m|≤		<ε
	2		2		2m

Ma być:

1
	<ε
2m

	1
Tak jak w sposobie 1., weźmy N=[log2		]+1
	ε

więc istnieje takie N (dla każdego ε), więc ciąg jest zbieżny, więc zdanie jest fałszywe. Proszę o sprawdzenie tego