złożenie funkcji Werka: Uzasadnij, że złożenie funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.

freeszpak: f(x) i g(x) funkcje rosnące, ich pochodne są wieksze od 0 (f o g)(x) = f(g(x)) = h(x) pochodna h(x) to jest pochodna f(g(x)) czyli f'(g(x))*g'(x) ale pochodna f'(x) i g'(x) jest dodatnia dla każdych argumentów, zatem pochodna h(x) jest zawsze dodatnia, zatem h(x) jest rosnąca

PW: Niech x₂ > x₁, wtedy g(x₂) > g(x₁), bo funkcja g jest rosnąca Niech u₂ > u₁, wtedy f(u₂)> f(u₁), bo funkcja f jest rosnąca Do ostatniej nierówności podstawiamy u₂ = g(x₂) > u₁ = g(x₁), co daje f(g(x₂)) > f(g(x₁)), a to kończy dowód.

Werka: PW, czy w takim razie analogicznie można rozwiązać zadanie, jeśli brzmi ono: uzasadnij, że złożenie funkcji niemalejącej i nierosnącej jest funkcją nierosnącą?

PW: Tak, odpowiednio zmieniając nierówności.