Wzory skroconego mnozenia Gwiazdunie23: zadanie na wzor skroconego mnozenia. udowodnij, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierownosc: a²+ab+b²≥3(a+b−1)

misiak: a²+ab+b²≥3(a+b−1) /*2 2a²+2ab+b²≥6a+6b−6 (a²+2ab+b²)+(a²−6a+9)+(b²−6b+9)−12≥0 (a+b)²+(a−3)²+(b−3)²≥12 chyba nie tędy droga

Gwiazdunie23: a dlaczego nie pomnożylas tez razy 2 tego b²?

misiak: a²+(b−3)a+b²−3b+3≥0 nierówność zmiennej a z parametrem "b" Δ_b=(b−3)²−4(b²−3b+3) Δ_b=−3b²+6b−3 Δ_b=−3(b−1)² ≤0 stąd nierówność wyjściowa jest prawdziwa dla a∊ℛ

Gwiazdunie23: nigdy nie mialam tego co wyzej robilas na lekcji, wiec musze to zrobic inaczej.. a czy to co na samym poczatku napisalas jest dobrze?

misiak: przekształcenia tak, ale nie prowadzą do celu ...tam ma być 2b²....ale potem dobrze przekształcone

Gwiazdunie23: kurcze... na to musi byc jakis sposob

misiak: a która to klasa?

misiak: może wystarczy to co o 18.45 lewa strona przyjmuje najmniejszą wartość gdy a=b=0 i jest równa 18≥12

Gwiazdunie23: 1 liceum tylko to chyba np. trzeba ze jakis 1/2 przed nawiasem albo 1/3 albo cos w tym stylu..

misiak: zamiast 1/2 przed nawias jest mnożenie przez 2 ...łatwiej

Gwiazdunie23: no tak tylko ze pozniej trzeba zrobi −12 i tu to nie pasuje, a tak moze by nie trzebabylo

PW: Do wypowiedzi misiaka z 19:10. To nieprawda, równość w badanej nierówności ma miejsce, gdy a = b = 1, co łatwo sprawdzić podstawiając. Oznacza to, że nierówności nie da się "poprawić" − istnieją a, b dla których nierówność staje się równością.

PW: Jeżeli Gwiazdunia23 musi to pokazać za pomocą wzorów uproszczonego mnożenia, to: (a−1)² ≥ 0 (b−1)² ≥ 0 (a+b − 2)² ≥ 0 jest tym "czarodziejskim" pomysłem (wykonać działania i dodać stronami te trzy nierówności).

misiak: to prawda, 19.10 to błędna argumentacja ale można też tak: a²+ab+b²≥3(a+b−1) a²+(b−3)a+b²−3b+3≥0

	b−3		(b−3)2		4b2−12b+12
(a+		)2−		+		≥0
	2		4		4

	b−3		−b2+6b−9+4b2−12b+12
(a+		)2+		≥0
	2		4

	b−3		3b2−6b+3
(a+		)2+		≥0
	2		4

	b−3		3(b−1)2
(a+		)2+		≥0 cnd
	2		4