równania kyrtap: Jakaś wskazówka? http://prntscr.com/90jpw6

kyrtap:

Dziadek Mróz: Proszzz, oto moja wskazówka

freeszpak:

kyrtap: Dziadek się wcale nie odzywasz

kyrtap:

zombi: Zaraz się wkręcę, bo jutro nie mam zajęć. To postaramy się rozkminić

kyrtap: zombi jak będziesz to napisz mam parę lematów zapisanych w zeszycie ale nie wiem jak to ruszyć

kyrtap: CSP a ty jesteś w stanie pomóc mi z tym zadaniem?

Eta:

kyrtap: ładne jabłuszko Eta

kyrtap:

kyrtap:

zombi: Pokaż te parę lematów może coś pomogę

kyrtap: zombi zaraz podam co mam

kyrtap: Przykład z książki: http://prntscr.com/9228rz

kyrtap: Notatki: Lemat Jeżeli y₁(t), y₂(t) − dwa rozwiązania równania (LN), to ich różnica jest rozwiązaniem równania (LJ) Dowód: Ly₁ = q(t) Ly₂ = q(t) φ(t) = y₁(t) − y₂(t) Lφ(t) = Ly₁(t) − Ly₂(t) = q(t) − q(t) = 0 Zatem φ(t) spełnia (LJ) (liniowe jednorodne) Niech y(t) − RORN (rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego) y₁(t) − RSRN ("szczególne") Wtedy ich różnica y(t) − y₁(t) na mocy Lematu jest rozwiązaniem równania (LJ) Zatem: y(t) − y₁(t) można przedstawić w postaci : y(t) − y₁(t) = Cexp(−∫p(t)dt) dla pewnego C ∊ R RORN = RORJ + RSRN − ta struktura rozwiązania liniowego niejednorodnego pozostaje prawdziwa dla równań dowolnego rzędu n oraz dla układów równań liniowych I rzędu. RORN − rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego RORJ − −||− jednorodnego RSRN − rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

kyrtap: http://www.matematyka.pl/120443.htm http://www.matematyka.pl/244399.htm a tu jakieś podpowiedzi są ale ich nie rozumiem

kyrtap:

kyrtap: Godzio może ty dasz jakąś wskazówkę?

zombi: Kurde zbieram się do tego od paru dni! jutro siądę na pewno, obiecuje

Godzio: Za równaniami nie przepadałem, ale pomyślę

kyrtap: ok Panowie

Godzio: Chyba rozwiązałem, zaraz napiszę (o ile po drodze nie znajdę błędu )

Godzio: Dla uproszczenia zapisu będę pisać: ∫p(t)dt = ∫p oraz p(t) = p (analogicznie dla q(t) ) Dane jest równanie: y' + py = q Rozwiążmy je. Najpierw mnożę obie strony równania przez exp(∫p) y'exp(∫p) + pyexp(∫p) = qexp(∫p) (y * exp(∫p) )' = q exp(∫p) y * exp(∫p) = ∫qexp(∫p)dt + C y = exp(−∫p) * ∫qexp(∫p)dt + Cexp(−∫p) oznaczmy to rozwiązanie przez (*) Wiemy, że Ψ jest rozwiązanie y' + py = q zatem Ψ' + pΨ = q Analogicznie φ ≠ 0 jest rozwiązaniem y + pq = 0 zatem

	φ'
φ' + pφ = 0 ⇒ p = −		, wstawiamy do pierwszego równania
	φ

	φ'
Ψ' +		Ψ = q
	φ

Ψ'φ + φ'Ψ
	* φ = q
φ2

	Ψ
(		)' * φ = q
	φ

Wstawiamy wyliczone p i q do (*) wiedząc, że:

	φ'
∫p = ∫(−		) = − ln(φ)
	φ

	Ψ
y = exp(ln(φ)) * ∫(		)' * φexp(−ln(φ))dt + Cexp(ln(φ))
	φ

	Ψ
y = φ * ∫(		)' dt + Cφ
	φ

y = Ψ + Cφ Zatem otrzymujemy rozwiązanie równania (mam nadzieję, że to o to chodziło )

kyrtap: czytam

Metis: Ciężko macie na tych studiach

kyrtap: kurde nigdy bym na to nie wpadł, dzięki

kyrtap: Godzio mądra głowa z Ciebie

Godzio: Nic mądrego nie zrobiłem, po prostu rozwiązałem równanie i wrzuciłem to co się dało

zombi: Takie coś też jest dobre? Rozwiążemy y'+p(t)y = q(t) (trochę inaczej niż Godzio ) 1. Krok jednorodne

	dy		dy
(1) y' + p(t)y = 0 ⇔		= −p(t)y ⇔		= −p(t)dt
	dt		y

Czyli lny = −P(t) + C₁, P(t) − pierowtna od p, czyli φ(t) = y(t) = C₂*e^−P(t). To była część jednorodna, ale jeśli chcemy znaleźć rozwiązanie r. niejednorodnego to za C₂ wstawiamy jakieś u(t) (uzmiennianie stałej) Więc (1*) y(t) = u(t)*e^−P(t), wówczas

	dy		du
(2)		=		*e−P(t) − p(t)u(t)e−P(t)
	dt		dt

Wstawiamy (2) i (1*) do (1) y' + p(t)y = q(t) ⇔

du
	*e−P(t) − p(t)u(t)e−P(t) + p(t)u(t)e−P(t) = q(t)
dt

⇔

du
	*e−P(t) = q(t) ⇔ u(t) = ∫q(t)e−P(t)dt + C3 czyli
dt

powrót do (1*) Ψ(t) = y(t) = u(t)e^−P(t) = [∫q(t)e^−P(t)dt + C₃]e^−P(t) Natomiast Ψ(t) + Cφ(t) = [∫q(t)e^−P(t)dt + C₃]e^−P(t) + C* C₂*e^−P(t) = [∫q(t)e^−P(t)dt + C*]e^−P(t), gdzie C* = C*C₁*C₂ z poprzednich, co nadal jest rozwiązaniem równania niejednorodnego. Ktoś to sprawdzi?

zombi: Ogólnie twierdzenie to przydaje się przy tak zwanej metodzie przywidywania. Jeśli zgadniemy jakieś szczególne rozwiązanie równania jednorodnego, to sumując je z rozwiązaniem ogólnym równania niejednoronego otrzymuje wszelkie możliwe rozwiązania równania y' + p(t)y = q(t)

zombi: Tzn. "miało być zgadniemy szczególne rozw. r NIEJEDNORODNEGO, to dodając rozw. ogólne r. JEDNORODNEGO"

kyrtap: zombi przepraszam ale dopiero twoje rozwiązanie czytam

kyrtap: moim zdaniem zombi dobrze zrobiłeś, dzięki Panowie jeszcze raz Godzio dobry pomysł z czynnikiem całkującym a zombi z uzmienianiem stałej