Wykaż Benny: Wykaż, że liczba √2+√3 jest niewymierna. Nie wprost: a, b i c, d − liczby względnie pierwsze

	a		c
√2 możemy zapisać w postaci		, a √3 w postaci		, więc:
	b		d

	a		c
√2+√3=		+		/()2
	b		d

	a2		c2		ac		ac
5+2√6=		+		+2		⇒		=√6
	b2		d2		bd		bd

ac=√6bd /()² a²c²=6b²d² Załóżmy, że 2 dzieli a, 3 dzieli c a=2r c=3m 36r²m²=6b²d² 6r²m²=b²d² O to chodzi? Jak tak to co dalej?

henrys: nie tak Benny, nie możesz założyć, że √2 i √3 są liczbami wymiernymi, nawet jeśli chcesz dowodzić nie wprost. Liczbę wymierną otrzymasz również dodając dwie liczby niewymierne, np. suma √2 i −√2 jest l. wymierną, czy (√2)+ (3−√2). Z wymierności składników, będzie wynikała wymierność sumy ale nie na odwrót. Mógłbyś ewentualnie założyć, że liczba √2+√3 jest wymierna

freeszpak: robisz tak:

a		c
	*		= √6
b		d

tutaj kilka łatwych przekształceń których nie bede już zapisywał... i mamy:

	a2
d2 =		*c2*6 jaką nam daje to informacje? a no taką, że liczba d jest parzysta,
	b2

zatem liczba d jest postaci 2k, podstawiamy do tego równania z kwadratami i mamy:

	a2
4k2 =		*c2*6 obie strony dzielimy przez 2
	b2

	a2		a2
2k2 =		*c2*3 zatem liczba po prawej stronie jest parzysta. Z założenia
	b2		b2

nie może być parzyste, zatem parzyste musi być c, a ponieważ wyżej doszliśmy do wniosku że również d jest parzyste to otrzymaliśmy oczywistą sprzecznosć z założeniem że c i d są względnie pierwsze

freeszpak: i oczywiście wpadłem na pomysł dokończenia Twojego rozumowania które całkowicie błędnie się rozpoczęło jak to wykazał henrys także to co napisałem traci sens..

Benny: Czy może lepiej tak: Nie wprost. Załóżmy, że x suma jest liczbą wymierną. √2+√3=x √2=x−√3 /()² 2=x²+3−2√3x x²+1=2√3x

x2+1
	=√3
2x

Tylko jak tutaj wykazać, że lewa strona jest wymierna?

PW: Bez problemu − przecież założyłeś, że x jest wymierna.

Benny: No założyłem, ale przykładowo, jeśli x jest równy 6 to taki ułamek nie będzie liczbą wymierną.

Damian1996: Spróbuj następująco.. Użyj podstawienia √2=√t oraz √3=√t+1 i załóż, że √t+√t+1=a/b. Po podniesieniu do kwadratu i dalszych przekształceniach powinieneś uzyskać sprzeczność

freeszpak:

	a
załóżmy że √2+√3 jest wymierny, czyli postaci		gdzie a i b wzglednie pierwsze bla
	b

bla bla.. po kilku przekształceniach doszedłem do momentu: a⁴+b⁴ = 10*b²*a² (a²+b²)² = 8b²*a² zatem a²+b² jest parzyste, postaci 2k, to jeszcze nie znaczy że obie są parzyste, bo mogą być parzyste ale mogą być też obie nieparzyste, wtedy suma tez bedzie parzysta (2k)² = 8 b²*a² 4k² = 8b²*a² k² = 2b²*a² zatem k jest również parzyste a z tego wynika że suma a²+b² jest podzielna przez 4 zatem obie te liczby muszą być parzyste, suma dwóch liczb nieparzystych nigdy nie da liczby podzielnej przez 4, zatem mamy sprzecznosc z założeniem że a i b są względnie pierwsze

freeszpak: Benny, co do Twojego rozwiązania z godziny 18:18 to nie uważam że jest ono poprawne. Chcesz wykazać że jakiś ułamek jest wymierny (co jest oczywiste że jest) ale chcesz uzyskać sprzecznosć przez to, że wiesz że √3 jest niewymierny, a Ty masz to wykazać, nie możesz sobie z tego korzystać podczas dowodu. Dobry pomysł dał Damian1996

Benny: √3 czy tam √2, że jest niewymierne to też bym pokazał. Zastanawiam się czemu ten ułamek jest wymierny

PW: Nie żartuj, toż w tym przykładzie to jest iloraz dwóch liczb całkowitych, a przecież wystarczy iloraz dwóch liczb wymiernych., żeby wynik był wymierny.

freeszpak: no jak to czemu? na górze ułamka masz jakąś liczbe całkowitą i na dole ułamka masz liczbe

	a
całkowitą, nie wiem w czym widzisz problem masz liczbe		gdzie a i b sa całkowite
	b

freeszpak: czekaj, no właśnie, Twoje rozwiązanie jest bardzo szybkie i łatwe. Sprowadziłeś zadanie do prostego przypadku wykazania że √3 jest niewymierny

PW: Benny, dowód nie wprost z 18:18 całkowicie poprawny i krótki. Dopisać: − Otrzymana sprzeczność świadczy, że założenie "x jest wymierna" było fałszywe.

Benny: Mój mózg dzisiaj nie ogarnia. Wybacz za takie głupoty PW

freeszpak: tylko trzeba udowodnić jeszcze niewymierność √3 ale mysle że to formalność

henrys: @freszpak, rozwiązanie Bennego z 18.18 jest jak najbardziej poprawne. Co ma wykazać, że √3 jest liczbą niewymierną? Skąd? Po co?

	x2+1
Założył, że x jest l. wymierną wobec tego x2+1 też jest l. wymierną ⇒		jest l.
	2x

wymierną no i ma sprzeczność, chyba, że nie wie, że √3 jest l. niewymierną.

freeszpak:

	x2+1
ok, ma ułamek		który oczywiście jest wymierny dla x wymiernych i przyrównujemy go
	2x

do √3. na razie nie ma żadnej sprzeczności dopóki nie wykażemy że √3 jest niewymierny. oczywiście czepiam się ale dobrze kiedy dowód jest dopracowany

freeszpak: aha, i oczywiście również uważam, ze jego dowód jest poprawy, co więcej jest szybki i łatwy, napisałem to już wcześniej. Tylko moim zdaniem nie powinien poprzestać na ostatniej równości

PW: Nie dowodzi się faktów powszechnie znanych, gdyż dowody osiągałyby monstrualną objętość. Tak jak faktem powszechnie znanym jest wymierność x² gdy x jest wymierna oraz wymierność ilorazu dwóch wymiernych, tak również powszechnie znana (od podstawówki) jest niewymierność √3. Na poziomie studiów nikt nie będzie pytał "dlaczego", gdyż było to w programie wcześniejszego nauczania na poziomie elementarnym.