równanie zespolone k: (z−i)⁴=(1+2i)⁸ W jaki sposób uzyskać z tego 4 rozwiązania? Beż używania jakichkolwiek wzorów, po prostu pierwiastkójąc jestem w stanie znaleźć dwa, ale na pewno nie jest to zamysł zadania i wiem że są jeszcze dwa inne rozwiązania. Jak do nich dojść?

PW: (1 + 2i)² = 1² + 2·1·2i + (2i)² = 1 + 4i −4 = − 3 + 4, wobec tego (1+ 2i)⁸ = (− 3 + 4i)⁴i, zatem mamy do czynienia z równaniem (z − i)⁴ = (− 3 + 4i)⁴

	z − i
(		)4 = 1.
	−3 + 4i

Szukamy najpierw jakie liczby postaci

	z − i
(		)
	−3 + 4i

są pierwiastkami czwartego stopnia z jedności:

	z − i
(1) (		) = ωk.
	−3 + 4i

Wzory na ω_k są znane. Z równania (1) wyliczamy liczby z spełniające zadane równanie.

ICSP: (z)⁴ = (x + iy)⁴ to z = (x + iy) * e^iπk/2 , k = 0,1,2,3

Mila: (z−i)⁴=(1+2i)⁸⇔ (z−i)⁴=[(1+2i)²]⁴⇔ (z−i)⁴−(−3+4i)⁴=0 [(z−i)²−(−3+4i)²]*[(z−i)²+(−3+4i)²]=0⇔ [z−i−(−3+4i)]*[z−i+(−3+4i)]*[(z−i)²−i²*(−3+4i)²]=0 (z−i+3−4i)=0 lub z−i−3+4i)=0 lub (z−i−i(−3+4i)=0 lub (z−i+i*(−3+4i))=0 dokończ

k: Co prawda najbardziej przemawia do mnie pomysł PW, ale i tak dziękuję wam wszystkim

PW: Ha, to jest cały czas ten sam pomysł, różnie zrealizowany (zapisany)

k: Mila, nie rozumiem Twojego ostatniego kroku gdy rozkładasz to [(z−i)²−i2*(−3+4i)²] na pierwiastki. Jak to się dzieje? I czemu tam jest −i² które równa się po prostu 1?

Mila: −(i²)=−(−1)=1 np. z²+1=z²−i²