działanie na potęgach baro990: Ostatnią cyfrą liczby bedącej wartością wyrażenia 2¹⁹⁹+4⁵⁵ jest? prawidłowa odp to 2, ale jakoś nie moge dojść czemu, pomożecie?

zombi: Miałeś kongruencje?

zombi: Jeśli nie, to: 4 ma ostatnią cyfrę 4 4² = 16 − ostatnia 6 4³ = 64 − ostatnia 4 4⁴ = 256 − ostatnia 6, zauważamy, że gdy potęgi są nieparzyste 4^k ma cyfrę 4, a gdy parzyste kończy się cyfrą 6. Przekształcimy teraz nasze wyrażenie 2¹⁹⁹+4⁵⁵ = 2*2¹⁹⁸+4⁵⁵ = 2*4⁹⁹+4⁵⁵ = 4⁵⁵*(2*4⁴⁴+1) 4⁵⁵ kończy się czwórką bo 55 jest nieparzyste. Teraz patrzymy co w naszym nawiasie 4⁴⁴ kończy się 6, 2*4⁴⁴ kończy się 2, 2*4⁴⁴+1 kończy się 3. Czyli mamy iloczyn liczby która kończy się 4 (4⁵⁵) oraz liczby która kończy się 3 (2*4⁴⁴+1). Ale 3*4 = 12, więc liczba kończy się cyfrą 2.

Eta: 2¹= 2 2²= 4 2³= 8 2⁴= 16 2⁵ = 3 2 itd co cztery sekwencje 199:4= 49*4+ 3reszta liczba 2¹⁹⁹ kończy się 8 110:4= 27*4+ 2reszta liczba 2¹¹⁰ kończy się 4 to suma 8+4= 12 więc kończy się 2

zombi: A przy kongruencjach Podobnie 4⁵⁵ ≡ 4 (mod 10) natomiast 2*4⁴⁴+1 ≡ 3 (mod 10), czyli 4⁵⁵*(2*4⁴⁴+1) ≡ 4*3 ≡ 2 (mod 10)

Eta: oczywiste,że 4⁵⁵= 2¹¹⁰

Mila: 2⁴=16 199=4*49+3 2¹⁹⁹=2¹96*2³=(2⁴)⁴⁹*2³=(....6)*8=(....8) ostatnia cyfra to 8 4⁵⁵=(4²)²⁷*4=(...6)*4=(....4) 4+8=12 ostatnia cyfra sumy 2¹⁹⁹+4⁵⁵ to 2.

baro990: dziękuje bardzo