Monotoniczność ciągu.. kaasiiikk: Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu (an), gdzie: a₁=0,5 i a_n+1=1/a_n dla n≥1

J: policz pierwsze cztery wyrazy ... i zobaczysz prwidłowość

kaasiiikk: Ale przecież monotoniczności nie wolno dowodzić na konkretnych liczbach...czy się myle?

J: najpierw zobacz jak ten ciąg wyglada

kaasiiikk: Wiem, że on w ogóle nie jest monotoniczny. Ale czy jeśli policzę te pierwsze kilka wyrazów i wyjdzie mi już że nie jest to wystarczy? Nie trzeba tego jakoś bardziej ogólnie wykazać\?

J: widzisz ciąg .. teraz ustal jego wyraz ogólny

kaasiiikk: właśnie tego tu nie potrafię możesz pomóc?

kaasiiikk: bo on nie jest ani geometryczny ani arytmetyczny tylko rekurencyjny i nie wiem jak ustalić an

J: a_n = 2⁽⁻¹⁾ⁿ

K: bardzo dziękuję

Aggnes: ej a w takim razie jak to z definicji rozpisać?

Aggnes: w sensie wykazać

J:

	an+1
pokazać, że znak ilorazu :		jest uzależniony od n
	an

Aggnes: A nie znak różnicy?

J: przy ciągach potęgowych, na ogół łatwiej jest stosować iloraz

Aggnes: no tak ale monotoniczności nie dowodzi się właśnie przez pokazanie znaku różnicy dwóch kolejnych wyrazów?

J: można i tak, i tak...

	an+1
jeśli: an+1 − an > 0 lub		> 0 ... to ciąg jest rosnący
	an

Aggnes: a w przypadku ilorazu nie powinno być większe od 1?

Aggnes: Wtrącę się...a co jeśli przykładowo: a_n+1= −8 i a_n=−4. Ciąg jest przecież malejący, a iloraz wychodzi większy od 0?

J: oczywiście tak ... literówka

Aggnes: znaczy większy od 1

J: tak

J: ciąg z 12:55 jest akurat rosnący

Pablo: ale własnie..jak jest taka sytuacja jak na górze (w sensie: a_n+1= −8 i a_n=−4) to czy iloraz byłby tu ok? Skoro wychodzi on większy od 1, a ciąg jest przecież malejący

Pablo: jak to malejący jak a_n=−4 i a_n+1= −8...?

J: źle popatrzyłem .. oczywiście ,że malejący ( tutaj stosujemy : a_n+1 − a_n )

Pablo: w sensie..jest chyba właśnie malejący

Pablo: oki