granice ola: Niech a_n+1=a_n³+a_n²+a_n dla n=0, 1, 2,... Wyjaśnić czy ciąg (a_n) ma granicę i znaleźć ją, jeśli istnieje. Wynik może zależeć od a₀. Bardzo proszę o pomoc

ola: Proszę o pomoc..

sushi_gg6397228: jakiś pomysł ?

ola: wydaje mi sie ze granica jest rowna 0 gdy a₀=0, a rowna +∞ dla a₀>1, nie wiem co dla pozostałych a₀

sushi_gg6397228: to bierzesz kilka różnych a₀ i sprawdzasz co wychodzi a₀= 0,25 a₀= 0,50 a₀= 0,75 a₀= −0,25 a₀= −0,50 a₀= −0,75 a₀= 1 a₀=−1 a₀= −2 a₀= −5 ...

PW: Jeżeli ciąg a_n ma granicę g, to lima_n+1 = g i na podstawie twierdzeń o arytmetyce granic g = g³ + g² + g 0 = g³ + g², zatem g = 0 lub g = − 1. Jednocześnie wzór rekurencyjny pokazuje, że gdy a_n ≥ 0 to ciąg jest niemalejący, bo a_n+1 − a_n = (a_n)³ + (a_n)² ≥ 0. Gdy a₀ = 0 to oczywiście wszystkie wyrazy ciągu są równe 0 i granica g = 0. Gdy a₀ > 0, to wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie i ciąg jest rosnący − jego granicą nie może być ani 0, ani −1, a więc granica nie istnieje. Gdy a₀ = −1, to a₁ = (a₀)³ + (a₀)² + a₀ = −1 + 1 −1 = −1 i w konsekwencji wszystkie wyrazy ciągu są równe −1, a więc g = −1. Samodzielnie zastanów się, co będzie gdy a₀ ≠ −1 i a₀ < 0.

pigor: ..., ja bym ... podszedł tak : jeśli a_n+1= a_n³+a_n²+a_n i a_n≠0, to warunek zbieżności

	an+1
ciągu an:		= an2+an+1 < 1 ⇔ an2+an< 0 ⇔
	an

⇔ a_n (a_n+1)< 0 ⇔ −1< a_n< 0, dla n=0.1.2, ... ...