Równanie zespolone. a1: Hi. Pisałem juz o tym zadaniu około tydzień temu ale okazało się, iż jest niepełne. Chodzi dokładnie o: (z−i)ⁿ−(z+i)ⁿ=0 , n należy do N rozwiązałem go tak (z−i)ⁿ−(z+i)ⁿ=0 (z−i)ⁿ=(z+i)ⁿ/:((z+i)ⁿ

(z−i)n
	=1
(z+i)n

	z−i
(		)n=1
	z+i

z−i
	=n√1, n√1=wk
z+i

z−i
	=wk
z+i

z−i=(z+i)wk

	1+wk
z=		, wk ≠ 1
	1−wk

	2π		2π
Z tego wynika iz mamy n−1 rozwiązań równania, gdy wk=(cos		+isin		)
	n		n

Rozwiązanie jest niby ok, ale mam dojść z tego iż rozwiązaniem tego równania jest zbiór liczb rzeczywistych. Jak mam to zrobić?

a1: up

a1: up

Godzio: Zbiór liczb rzeczywistych? W sensie np. z = 0 i dla każdego n mam (−i)ⁿ − iⁿ = iⁿ((−1)ⁿ − 1) = 0? Wątpię.

a1: Niby takie jest rozwiązanie.

PW: z−i=(z+i)wk z−i=zw_k+iwk z − zw_k = iw_k+ i z(1 − w_k) = i(1 + w_k)

	i(1+wk)
z =
	1 − wk

Brakło tego "i" w liczniku, ale tak czy inaczej nie ma powodu sądzić, że rozwiązaniami są liczby rzeczywiste (w dodatku wszystkie!). Rozwiązań jest n−1, nie tworzy rozwiązania.liczba w₀ = 1 (bo mianownik ułamka byłby zerem). Jest to zgodne z zasadniczym twierdzeniem algebry − równanie stopnia (n−1) ma (n−1) rozwiązań, a wbrew pozorom badane równanie jest równaniem stropnia (n−1).