Zaznaczenie zbiorów na płaszczyźnie (liczby zespolone) Ania95: Nie mam pojęcia jak się za to zabrać.. Na płaszczyźnie ℂ zaznacz zbiory A∪B jeżeli: a) A={z: 2≤|z−i|<4}, B={z: |z|<|z−2i|}

PW: Wskazówka: |z − i| = 4 to zbiór punktów z, których odległość od i jest równa 4 (okrąg o środku i i promieniu 4). Zbiór punktów, dla których |z − i| < 4 to już nie okrąg, ale wnętrze koła.

Janek191: A − to pierścień bez jednego brzegu ( okręgu )

J: B − zbiór punktów płaszczyzny,których odległość od punktu (0,0) jest mniejsza niż od punktu (0,2i) ....czyli pópłaszczyzna pod spodem symetralnej odcinka (0,2i)

Ania95: czyli jeśli: b) A={z: |z−2i| < 2}, B={|z+2|≤2} to suma tych zbiorów to połączone dwa wnętrza kół, pierwsze o środku w punkcie A'(0,2i) i drugie o środku w punkcje B'(−2,0) i też promieniu 2, z tym, że pierwsze bez krawędzi a drugie z krawędzią −− to jest ok? f) A={z: Re((1+i)(z+1))<1}, B={z:Im((1+i)(z+1))<1} czyli po wymnożeniu mamy A={z: Re(1+z + i(z+1))<1}, B={z: Im(1+z + i(z+1))<1} i co teraz? mam wybrać z A część rzeczywistą, a z B część urojoną? Czy "z" to jest jakaś liczba rzeczywista czy to liczba zespolona z=a+bi i mam to jeszcze jakoś bardziej rozpisać? Utknęłam Nie do końca rozumiem też post J z 14:45, czym jest samo |z| i |z−2i|? Nie wiem jak to sobie wyobrazić

J: Iz − z₀I = a − zbiór punktów płaszczyzny odległych od z₀ o wartość a IzI = Iz − 0I = a − zbiór punktów płaszczyzny odległych od (0,0) o wartość a Iz − 2iI = a − zbiór punktów płaszczyzny odległych od (0,2i) o wartość a

Mila: Od punktu (0,2).

J: na płaszczyźnie zespolonej moźemy go oznaczyć (0,2i)

PW: W "zwykłej geometrii" na płaszczyźnie zbiór punktów P, dla których |PA| = |PB| to symetralna odcinka AB. W języku liczb zespolonych − pisząc z zamiast P oraz (0,0) = 0 + 0i zamiast A i (0,2) = 0 + 2i zamiast B mielibyśmy zapis |z − 0| = |z − 2i|. Nie ma jednak równości, lecz nierówność |z − 0| < |z − 2i|. co oznacza (jak już pisał J), że punktom z jest bliżej do (0,0) niż do (0,2) − szukane punkty nie leżą na symetralnej odcinka wyznaczonego przez punkty (0,0) i (0,2), ale po tej stronie symetralnej, po której leży (0, 0). Warto zrobić rysunek, który pozwoli to lepiej zrozumieć. Gdy już na jednym rysunku umieścisz A oraz B, to po prostu zakreskować A∪B

Ania95: J: B={z: |z|<|z−2i|} − ale tu nie ma żadnego "=". Jakbym chciała to zaznaczyć to by byl taki " prostokąt " z jedną ścianą na OX, drugą równoległą do OX, przechodzącą przez 0,i? Dalej nie rozumiem skąd to się bierze. A wolfram rysuje takie coś http://m.wolframalpha.com/input/?i=%7Cz%7C<%7Cz-2i%7C&x=0&y=0 I co zrobić dalej z f)?

PW: Nie rozwiązuj zadań maszyną, Ty masz myśleć, a nie "wrzucać do wolframa". Na tym etapie jest to bardziej szkodliwe niż pomocne.

Ania95: Dlatego pytam czy to jest ok, bo wolfram pokazuje całkiem coś innego, a ja nie mam odpowiedzi do zadań. Czyli ten prostokąt tak jakby nieskończony na szerokość prostokąt z dwoma bokami jednymna OX drugim równoległym przechodzącym przez punkt (0,i) jest ok? Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć skąd to się wzięło i co dalej zrobić z f)?

Mila: f) A={z: Re((1+i)(z+1))<1} Re(z+1+i*z+i)<1, z=x+iy, gdzie x,y∊R Re(x+iy+1+i*(x+iy)+i))<1 Re([x+1−y]+i*(x+y+1))<1⇔ x+1−y<1⇔x−y<0⇔y>x to jest część płaszczyzny nad prostą y=x B={z:Im((1+i)(z+1))<1} Im((1+i)(z+1))<1⇔ x+y+1<1⇔ x+y<0⇔y<−x to jest część płaszczyzny pod prostą y=−x A∪B to złączenie zbiorów

Ania95: Bardzo dziękuję Mila

Mila: a) zbiór B B={z: |z|<|z−2i|} Najlepiej gdybys przemyślała i zrozumiała to, co napisał PW albo tak: z=x+iy gdzie x,y∊R |x+iy|<|x+iy−2i| |x+iy|<|x+i*(y−2)|⇔ √x²+y²<√x²+(y−2)² /² x²+y²<x²+y²−4y+4⇔ −4y+4>0 −4y>−4 y<1 część płaszczyzny poniżej prostej y=1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− II sposób |z−0|=|z−2i| to zbiór punktów leżących na symetralnej odcinka łączącego punkty (0,0) i (0,2). Ta symetralna to prosta: y=1 Ty masz nierówność : |z|<|z−2i| musisz wybrać jedną z półpłaszczyzn, teraz wczytaj się w komentarz PW i wybierz tę półpłaszczyznę, jeśli nie wiesz jak, to podam jeszcze inny sposób , jak wybrać, ale to po kolacji.

Ania95: Już rozumiem, że to ta dolna półpłaszczyzna. Pisałam posta w tym samym czasie kiedy PW dodał swojego i dlatego jego post mi umknął. Dzięki Mila i PW.