Suriekcje, injekcje Benny: 3.Niech f: ℛ→ℛ² będzie odwzorowaniem określonym wzorem f(x)=(x+2, 2x+1). Sprawdzić, czy f jest suriekcją oraz injekcją. Wyznaczyć (jeżeli istnieje) f⁻¹. 4.Dane jest odwzorowanie f: ℛ²→ℛ², określone wzorem f(x, y)−(x+2y, xy). Sprawdzić czy f jest injekcją oraz suriekcją. Z takimi funkcjami nie miałem jeszcze styczności. Od czego tu się zabrać?

Benny:

Benny: ref

Benny:

Mila: 3) Każdej liczbie x∊R przyporządkowujesz punkt : P(x+2,2x+1) sprawdź czy jest różnowartościowa Czy otrzymasz wszystkie punkty płaszczyzny.

:): 3. Iniektywność f(x₁)=f(x₂) i czy z tego wynika, że x₁=x₂ f(x₁)=f(x₂) czyli (x₁+2,2x₁+1)=(x₂+2,2x₂+1) czyli x₁+2=x₂+2 oraz 2x₁+1=2x₂+1. I widać, że x₁=x₂ Surjeckja NIE, Surjektywnośc oznacza (w tym przypadku), że dla każdej pary (a,b)∊R² istnieje x∊R : f(x)=(a,b) Biorąc (1,0) nie znadziemy takiego x bo gdyby był to by musiało być (x+2,2x+1)=(1,0) czyli x+2=,1 2x+1=0 i widać, ze tak sie nie da

:): Funkcja odwortna istnieje, bo f rożnowartościowa niech f:R→A⊂R², gdzie A=f(R²)−obraz f, biorę obraz, bo f nie jest surjekcja f⁻¹:A→R

	b−1
f−1(a,b)=a−2 albo (co na to samo wychodzi) f−1(a,b)=
	2

	b−1
Dlaczego? Bo f(f−1(a,b))=(f−1(a,b)+2,2f−1(a,b)+1)=((a−2)+2,2*		−1)=(a,b)
	2

Benny: Czemu akurat punkt (1,0)? Nie da się ogólnie dla a i b? Nie bardzo rozumiem tą drugą część.

:): Jak chcemy pokazać, że nie jest surjekcją to.wystarczy wziać JAKIKOLWIEK punkt (tu: pare punktów) zeby nie dało sie znaleźć x,a Taki mi sie wydawał najprostszy... Możesz sobie wziać nawet (0,997)

:): Surjekcja.. Dla każdej pary (a,b)∊R² istnieje x∊R : f(x)=(a,b) Nie surjkejca więc istnieje para (a,b)∊R² taka, że nie da sie dla niej znaleźć x, takiego, ze f(x)=(a,b)

Gackt: W takim razie jak pokazać ze coś jest suriekcja i pokazać to bez wykresu....

Benny:

	x−1
więc funkcja odwrotna będzie postaci f−1(x)=(x−2,		)?
	2

:): No nie..napisałem ci funkcje odwortną. Po pierwsze funkcja odwrotna da liczbe,a nie pare liczb!

:): Gackt,...to przecież to juz zrobilismy wyżej

Benny: Tam na pewno ma być a? Nie powinien być x?

:): no taką sobie dałem literke..mozesz nawet słoneczkiem oznaczyć

Benny: Nie o to mi się rozchodzi teraz Bo to ma być prosta, więc raczej powinno być oznaczone x−em. Czy się mylę?

:): Nie ma żadnego znaczenia!

:): ważne żeby było konsekwentnie.. f⁻¹(a,b)=a−2 ok f⁻¹(x,y)=x−2 ok f⁻¹(a,b)=x−2 ZLE

Benny: Ok, ok Jak się zabrać za kolejne?

:): 4. Iniekcja ..analogicznie (tyle ze tu masz 2 argumenty Tam miałes tylko x, a tu masz x,y) f(x₁,y₁)=f(x₂,y₂) i pytamy czy z tego wynika, że x₁=x₂ oraz y₁=y₂

Benny: Tutaj już tak prosto nie ma. Mamy układ:

⎧	x1−x2=2(y2−y1)
⎩	x1y1=x2y2

:): jeżeli x₁=x₂ to y₁=y₂ i analogicznie jeżeli y₁=y₂ to x₁=x₂ (bo x₁−x₂=2(y₂−y₁)) Niech x₁≠x₂. Jeden z nich jest niezerowy..podziel 2 równanie prez niego, podstaw do 1 równania.....

Benny: Wyszło mi, że 2y₁=x₂

:): x₁−x₂=2y₂−2y₁ więc x₁=

Benny: x₁=2y₂

:): No i to rozumowanie pomogł skontruować kontrprzykłąd f(x,y)=(x+2y,xy) Weźmy (6,4) oraz (8,3) Wtedy f(6,4)=(6+2*4,6*4)=(6+8,24)=(14,24) f(8,3)=(8+2*3,8*3)=(8+6,24)=(14,24) więc mamy 2 różne pary i jedna wartość więc nie jest iniekcją

Benny: Ładnie No i zostaje suriekcja.

:): Pytamy czy dla każdej pary (a,b)∊R² istnieją x,y takie, że (x+2y,xy)=(a,b)

:): czyli x+2y=a oraz xy=b

:): wezmy np pare (0,b) x+2y=0 oraz xy=b x=−2y oraz xy=b czyli −2y*y=b czyli −2y²=b −2y²≤0 więc widać, ze jak sobie wezme (0,1) np..to nie znjade co nie

Benny: No na to wychodzi. Nie da się tego uogólnić dla każdego a i b?

:): ale nie ma potrzeby.. Wskazalismy pare, że nie da sie dla niej znaleść (x,y) KONIEC..nie jest surjekcją

Benny: Ok, dzięki za dziś. Rano może będziesz?

:): na uczelni D. Jak nie padne to wejde jutro ale poxno, a moze ktos inny ci pomoże.

Benny: Co studiujesz?

:): matme i astronomie

Benny: Dwa kierunki? Jaka uczelnia i który rok?

:): 5, haha..Jak chcesz to mozemy sie ugadać na piwo..to pogadamy. Nie zapominaj , ze to czytają wszyscy! Nr albumu wolalbym nie podawać

Benny: Nic strasznego chyba nie napisałem Na piwo to chyba, że w Krakowie studiujesz

:): aa tak

Benny: To już dużo wiem

Benny: 7. Niech f: ℛ→ℛ będzie zadana następująco:

⎧	−x2 dla x<0
⎨	x dla x∊[0,1)
⎩	2x−1 dla x≥1

Zbadać, czy f jest bijekcją, a jeżeli tak, to wyznaczyć f⁻¹. Zwf: dla x<0, y∊(−∞;0), bo funkcja rosnąca dla x∊[0,1), y∊[0;1) jak wyżej dla x≥1, y∊<1;+∞) jak wyżej Jest injekcją, bo nie przyjmuje dwa razy tej samej wartości. Jest suriekcją, bo zawiera cała płaszczyznę? Czy jakoś inaczej to trzeba uzasadnić? Funkcja odwrotna dla x<0, y=−x² x=−√−y lub x=√−y, bierzemy x=−√−y, bo mają być wartości ujemne? dla x∊[0,1) y=x, więc to samo dla x≥1 y=2x−1

	y+1
x=
	2

f⁻¹(x)= −√−x dla x<0 x dla x∊[0,1]

x+1
	dla x≥1}
2

Benny:

:): Surjektywność wynika, z faktu, że f rosnaca oraz lim_x→∞f(x)=∞ oraz lim_x→−∞f(x)=−∞ Iniektywność właśnie ztego, że f rosnąca (globalnie) A funkcja odwrotna wynaczona dobrze

Benny: Ok