Liczby zespolone-drobna pomoc Ania95: Dzień dobry, zbliża się moje pierwsze kolokwium i mam drobne problemy z zadaniami z liczb zespolonych. Liczę na waszą pomoc Mój pierwszy problem to: jak policzyć argument liczby zespolonej √2 + √2 + i*√2−√2 ?

	√2 + √2		√2 − √2
Liczę moduł |z| = 2, i mam cosδ =		i sinδ=		, tylko nie mam
	2		2

pojęcia jak policzyć teraz jaki to kąt..

Benny: Czasem warto sprawdzić czy nie jest to połowa jakiegoś kąta, którego wartość już znasz. cos2φ=2*cos²φ−1

	2+√2
cos2φ=		−1
	2

	√2
cos2φ=
	2

2φ=45^o

	π
φ=22.5o tj.
	8

PW: Jednym słowem warto zapamiętać również wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 22,5° oraz (do innych zadań) dla kątów 15° 18°, 36°, 54°, 67,5°, 72°. Nie wszystkie trzeba pamiętać, są powiązane ze sobą wzorami redukcyjnymi. Rozwiązując zadania w domu warto po prostu pamiętać, gdzie jest taka tabelka w tablicach matematycznych.

Ania95: Super dzięki, teraz mam pytanie odnośnie obliczania pierwiastków zespolonych w trójmianie kwadratowym. w(z)=z²+5iz−4=0 liczę delte = −9, teraz muszę policzyć ile wynosi pieriwiastek z tej delty: √−9 = a + bi −9 = a² − b² + 2abi −9 = a² − b² 0 = ab i teraz muszę policzyć 3(2) przypadki (a=0 i b ≠ 0) (a≠0 i b=0) i trzeci (a=0 i b=0 − ale ten odpada od razu) tzn gdy a = 0 b = 3 lub b = −3, ale gdy to b = 0 to a² = −9 czyli a = √−9 i znowu będę liczyła to samo co kilka linijek wyżej wyjdą mi dalej te same przypadki i nieskończona pętla takiego liczenia. Czy to jest poprawny sposób? Gdy przestanę liczyć po obliczeniu tego pierwszego przpadku tzn kiedy a=0 otrzymuję wyniki √−9 = 3i lub √−9 = −3i i tak samo wychodzi na wolframie, ale co kiedy b = 0? Chodzi o to, że b nie może się równać zero bo wtedy a musi być dodatnie, a "a" to część rzeczywista − jak wiadomo nie ma pierwiastków rzeczywistych z liczb ujemnych. Dobrze myślę?

Benny: −9=i²*3² Δ₁=3i Δ₂=−3i i po kłopocie

Ania95: A czy samo "i" ma jakąkolwiek wartość? Czy np coś takiego Δ=√(3i)²=|3i| czyli liczba rzeczywista razy "i" w wartości bezwzględnej to zawsze 2 rozwiązania?

PW: Dla liczb rzeczywistych √u² = |u| jest prawdą, moduł jest potrzebny do spełnienia warunku definicji − pierwiastek ma być liczbą nieujemną. Taki sposób rozumowania nie obowiązuje w zbiorze liczb zespolonych (to nie jest prawda). Przykład: √−1 to dwie liczby: −i oraz i W zbiorze liczb zespolonych pierwiastek z liczby (zespolonej) u jest zdefiniowany jako rozwiązanie równania z² = u − rozwiązania są dwa, oba jednakowo "ważne".

Ania95: mam wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu zespolonego : w(z) = z⁴ − (3−5i)z² − 3i −4. Podstawiam za z²=t, obliczam Δ(t) = −18i, potem obliczam pierwiastki z tej delty i wychodzi −3 + 3i lub 3 −3i. Wybieram jeden pierwiastek (−3 + 3i) i obliczam miejsca zerowe w(t). Wychodzą takie: −i oraz 3−4i. Podstawiam za t1 i t2 z1² i z2² i staram się obliczyć miejsca zerowe w(z) czyli z1,z2 = √−i oraz z3,z4=√3−4i. Przyrównuję te pierwiastki do a + bi, podnoszę do kwadratu porównuje części rzeczywiste i urojone, z3 i z4 wychodzą mi odpowiednio −2 + i oraz 2 − i. Takie same wyniki pokazuje mi wolfram (http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4-%283-5i%29z%5E2-3i-4) tylko czy sposób liczenia jest ok? Problem mam natomiast z policzeniem 2 pierwszych pierwiastków tzn z1,z2 = √−i. liczę to tak: −i = a² − b² + 2abi a²=b²

	1		1
ab=−		z tego wyliczam b = −
	2		2a

	1
a4=
	4

	−1		−1
a = 4(		), a b wtedy wychodzi mi −2(		)
	4		2

co tu robię źle?

PW:

	1		1		√2		√2
a4 =		⇔ a =		=		⋁ a = −
	4		√2		2		2

Ania95: mam wtedy −2 +i, 2−i, U{√2{2}} − U{√2{2}} * i, −U{√2{2}} + U{√2{2}} * i. To dobrze

	3		3
odpowiedzi? Wolfram pokazuje coś takiego (−1)(		) i −(−1)(		) zamiast tych
	4		4

	3
pierwiastków z dwóch. a A np (−1)(		) ma 4 rozwiązania..
	4

PW: Nie sprawdzałem, czy dobrze rozwiazujesz równanie, pokazałem tylko że źle rozwiązujesz równanie

	1
a4 =		. Twoje rozważania sa zapisywane tak nieczytelnie, że jak widzisz nikt nie miał
	4

ochoty ich zgłębiać. Rzeczywiście, jak łatwo sprawdzić, równanie z⁴ − (3−5i)z² − 3i −4 staje się zdaniem prawdziwym, gdy z² = − i, to znaczy gdy

	1		1
z =		(1 − i) lub z = −		(1 − i).
	√2		√2

Wolfram to program, ma specyficzne podejście po problemów i raczej nie odpowiada "po ludzku". Zastanów się, czy przypadkiem to z = ⁴√(−1)³ nie jest właśnie takim "wykręceniem się sianem" (to co wyliczyłas, tylko innym językiem opowiedziane).

PW: Korekta: W 5. linijce powinno być równanie z⁴ − (3 − 5i)z² −3i − 4 = 0.

ZKS: Jak to wolfram.

	1 − i
(−1)3/4 = i3/2 = (−i)1/2 =
	√2

PW: No to już nie musisz się zastanawiać

ZKS: Przepraszam, pewnie nie potrzebnie napisałem i dałeś to zadanie dla Ania95, aby sama to zobaczyła.

Ania95: Dzięki za pomoc! Postaram się teraz pisać jaśniej.