uzasadnij, że dla dowolnych licz a i b mati: Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwą jest nierówność a² + b²'+16≥ ab+4a+4b Z góry dziękuję

sushi_gg6397228: i czekasz na gotowca?

mati: Na wytłumaczenie

sushi_gg6397228: musisz pozwijac do wzorów (x−y)² oraz (x+y)²

PW: (a+b−4)² =(a+b)² − 8(a+b) + 16. Wyrażenie to jest kwadratem liczby rzeczywistej, a więc jest nieujemne: (a+b)² − 8(a+b) + 16 ≥ 0 a² + b² + 16 ≥ − 2ab + 8(a+b) a² + b² + 16 ≥ − 3ab + 4(a+b) + ab + 4(a+b) Wystarczyłoby zatem pokazać, że − 3ab + 4(a+b) ≥ 0

	3
a + b ≥		ab.
	4

Z łatwością pokażemy, że jest to prawda, gdy obie liczby a i b są nieujemne (np. stosując nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną). Należy zastanowić się osobno − co by było, gdyby co najmniej jedna z liczb a, b była ujemna?

PW: To tak żeby nie było za łatwo

PW: mati "podziękował z góry", więc się już nie zjawi, ale co tam, dla potomnych podam inny sposób dowodu, taki "siekierą". Można na badaną nierówność spojrzeć jak na nierówność kwadratową zmiennej a (z parametrem b). Dla lepszego zrozumienia napiszemy "x" zamiast "a": x² − bx − 4x + b² − 4b +16 ≥ 0 (*) x² − (b + 4)x + b² − 4b +16 ≥ 0 (**) Δ = b² + 8b + 16 − 4b² + 16b − 64 = − 3b² + 24b − 48 Gdyby b = 0 to po prostu Δ = − 48. Dla b ≠0 znak Δ ustalimy licząc jej wyróżnik Δ₁ = 24² − 4(−3)(−48) = 576 − 576 = 0. Z faktu, że Δ₁ = 0 wynika, że Δ ≤ 0 dla wszystkich b (bo współczynnik przy b² w (**) jest ujemny). Podsumowanie: W nierówności (*) funkcja kwadratowa po lewej stronie ma wyróżnik ujemny lub równy 0, co oznacza że nierówność ta jest prawdziwa dla wszystkich x i dowolnej wartości parametru b. To kończy dowód.

Eta: Jeżeli taka nierówność zachodzi to przekształcamy ją równoważnie: a²+b²+16≥ ab+4a+4b /*2 a²−2ab+b²+a²−8a+16+b²−8b+16≥0 (a−b)²+(a−4)²+(b−4)²≥0 taka nierówność zachodzi bo suma kwadratów trzech liczb jest nieujemna zaś równość zachodzi dla a=b=4 zatem nierówność wyjściowa zachodzi c.n.w

PW: Tak, to znałem, ale za proste.

Eta: Jeżeli patrząc na muszkę widzimy tygrysa to wyciągamy ...... cięższą broń

PW: Po prostu bawię się wymyślając inne wersje. Muszę jednak zupełnie poważnie powiedzieć, że nie każdy wpadnie na to najprostsze i najbardziej eleganckie, które podałaś. Wtedy wersja z funkcja kwadratową (jak powiedziałem "siekierą") jest deską ratunku.

mati: Sam wczoraj nad tym myślałem i zrobiłem jak już tylko pomnożyłem x2 to już szło