Ile punktów wspólnych mają wykresy s i g w przedziale <0;2π>? Kinga: a) f(x) = sinx + cosx, g(x) = √2 b) f(x) = sinx − √3cosx, g(x) = 1

Kinga: Proszę o szybką odpowiedź .

5-latek: Kinga . Umiesz narysować wykresy tych funkcji ? Jeśli tak to narysuj i po zababwie jeśli nie to nic CI nie da szybka odpowiedz . Wtedy sa programy do rysowania wykresow i program CI narysuje Tutaj także jeski ktoś Ci odpowie to narysuje wykresy w progranie (a tutaj takowy jest

Kinga: A jest jakiś wzór dzięki któremu mogłabym połączyć cosinus z sinusem i narysować ten wykres?

PW: Wcale nie trzeba rysować, wręcz odradzam. f(x) = sinx + cosx f²(x) = sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1 + sin2x Widać zatem, że (1) f²(x) ≤ 2 (bo maksimum funkcji sin2x jest równe 1). Dla x z przedziału <0, 2π> maksimum to jest osiągane

	π		5
2 razy: gdy 2x =		i gdy 2x =		π
	2		2

	π		5
(wtedy odpowiednio dla x =		i dla x =		π jest
	4		4

sin2x =1). Oznacza to, że maksymalną wartością funkcji f(x) może być √2, osiągany w 2 punktach, Wystarczy sprawdzić, że rzeczywiście

	π		π		√2
sin		+ cos		= 2		= √2
	4		4		2

i dla drugiego z kątów podobnie. Jeżeli wydaje się to nieco mętne, to streśćmy: Łatwo wykazać, że maksimum funkcji f²(x) jest liczba 2, i maksimum to jest osiągane w 2 punktach. Wynika stąd, że (być może) maksimum funkcji f(x) jest √2. Na wszelki wypadek sprawdzamy, czy rzeczywiście we wskazanych punktach wartość f(x) = √2.

PW:

	5
I tak nieco myląco podpowiadam: po sprawdzeniu dla x =		π okaże się, że
	4

sinx + cosx < 0,

	π
a więc sinx+cosx = √2 tylko dla jednego x, równego		.
	4

Można to rozwiązać zgrabniej, w gruncie rzeczy idzie o dowód faktu, że sinx + cosx ≤ √2,

	π
przy czym równość ma miejsce tylko dla x =		.
	4

Za pomocą wyszukiwarki tej strony pewnie można znaleźć ładniejsze dowody (były na pewno).