+ Wiosło: Wykaż, że f:R² odwzorowane dla R² f(x,y)=(x+y,xy) nie jest injekcją. Najlepiej to z definicji.

zombi: f(1,0) = f(0,1) koniec.

Wiosło: Pan znalazł to metodą prób i błędów czy da się inaczej?

zombi: Jeśli mamy pokazać, że coś nie działa, to najłatwiej znaleźć przykład, który tego nie spełni. O ile prawdziwość dowodzi się długo i ciężko. Tak, aby wykazać fałsz wystarczy podać jeden przykład, który tego nie spełnia. Tak, metodą zgadywania, nie ma tutaj pewnego sposobu. Trzeba dostrzec coś co sprawi, że postawiona hipoteza nie zadziała.

Wiosło: Dziękuję.

Wiosło: A jak mam R² dla R² i funcje f(x,y)=(x−y,x²+y²) to wystarczy, że wezmę za "(x−y,x²+y²)" (cokolwiek,ujemna) i udowodnię, że to nie jest surjekcja?

zombi: Tak, bo jeśli byłaby surjekcją na R², to musiałyby istnieć takie x,y∊R, że f(x,y) jest równe dajmy na to (0,−1), ale szybki rachunek pokaże, że bez zaprzęgania w to liczb zespolonych nie dostaniemy takiego wyniku a dziedzina jest jasno określona jako R². Czyli nie istnieje w R² taka para, która to spełni. Wniosek nie jest surjekcją. Dobrze rozumujesz.

PW: Można też pokazać, że nie jest różnowartościowa, bo np. dla (x₁,y₁) = (7, 5) i dla (x₂,y₂) = (−5, −7) (*) f(x₁,y₁) = (2, 74) = f(x₂, y₂). Pewnie "bardziej elegancko" byłoby powiedzieć, że f(x, y) = f(−y, −x), ale to nie zmienia faktu, że wystarczy pokazać jeden kontrprzykład, taki jak (*).

PW: A a ..., moja odpowiedź była "nie na temat", dotyczyła pytania o bijekcję. Mylą mi się te nazwy, wprowadzone zupełnie niepotrzebnie, tak jakby nie było polskich odpowiedników.

Wiosło: I tak dziękuję Mam kolejne pytanie. f:(o,π)→R f(x)=log₂(sinx)

	π		π
A=[		,		]
	4		2

Muszę wyznaczyć f(A). Wyznaczyłem wartości na końcach przedziałów zbioru A i wyszło elegancko bo wtedy sin x rośnie, lecz chyba trzeba dodać jakiś stosowny komentarz do samego wyniku

	1
f(A)=[−		;0]?
	2

zombi: Może taki, że dla A funkcja sinx daje wartości, które mieszczą się w dziedzinie logarytmu, więc nie będzie problemu z wyrzucaniem czegoś z dziedziny. Ponadto logarytm jest funkcją ciągłą na tym przedziale, dlatego f(A) jest całym przedziałem. Więcej nie potrzeba chyba