Zad CzerstwyJacek: Dla jakich wartości współczynników m i n wielomian W(x)= x⁴+mx³+nx−20 jest podzielny przez x²+3x−4

olekturbo: schemat hornera

olekturbo: albo szukasz pierwiastkow x²+3x−4 i w(x₁) oraz w(x₂) = 0 ⇔ ... = 0

PW: W(x) = P(x)(x²+3x−4), przy czym P jest wielomianem drugiego stopnia. Musi być więc P(x) = x²+bx+c) (1) x⁴ + mx³ + nx − 20 = (x²+bx+c)(x²+3x−4) Wymnożyć i porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach x. Iloczyn wyrazów wolnych musi być równy −20, a więc od razu widać, że c = 5, wobec tego można równość (1) uprościć: (2) x⁴ + mx³ + nx − 20 = (x²+bx+5)(x²+3x−4).

pigor: ..., tu x²+3x−4= (x+4)(x−1), więc z tw. Bezoute'a i wniosku z niego tw. o reszcie : W(−4)=0 i W(1)=0 ⇔ 256−64m−4n−20=0 /:4 i 1+m+n−20=0 ⇔ ⇔ −16m−n = −59 i m+n= 19 /+stronami ⇔ −15m= −40 i n=19−m ⇔ ⇔ m= ⁸₃ i n= 19−2²₃ ⇔ (m,n)= (2²₃, 16¹₃) o ile gdzieś nie.

CzerstwyJacek: dobra dzięki już czaje wystarczy podstawić −4 i 1 a potem ułożyć równanie