Ciąg rosnący Marek: Wykaż, że ciąg an= n+1/n+3 (/ − zastępuje kreskę ułamkową) jest ciągiem rosnącym.

Przemysław:

	n+1
an=
	n+3

policz a_n+1 i wykonaj: a_n+1−a_n Tam gdzie ta różnica jest ujemna to jest malejący, gdzie dodatnia to rosnący.

Marek: Przemysław bo tak trochę nie zrozumiałem, mógłbyś to jakoś bardziej łatwo wyjaśnić? Słabo mi matematyka a chcę się z tym uporać

olekturbo: Jeżeli ciąg jest rosnący to kolejny wyraz czyli a_n+1 musi być większy od poprzedniego a_n

Przemysław: Mamy wyraz n−ty jakiegoś ciągu, powiedzmy że wzór ogólny to:

	n+3
an=
	n+7

Wiemy, że ma jakąś wartość a. Jeżeli ciąg jest rosnący, to wraz z wzrostem numeru wyrazu będzie rosła wartość (na wykresie to punkty byłyby coraz wyżej im dalej na prawo byśmy szli) Więc liczymy wartość dla wyrazu kolejnego − n+1 wartość dla niego to:

(n+1)+3		n+4
	=
(n+1)+7		n+8

teraz sprawdzimy, czy ta wartość jest większa niż tego poprzedniego, czyli, czy: a_n+1>a_n

n+4		n+3
	>
n+8		n+7

przenosimy a_n na lewą stronę:

n+4		n+3
	−		>0
n+8		n+7

i teraz wykonujemy odejmowanie i wynik ma być większy od zera.

(n+4)(n+3)		n2+4n+3n+12
	=
(n+8)(n+7)		n2+8n+7n+56

ponieważ n jest numerem wyrazu, to musi być ≥0 (nie ma wyrazów ujemnych, bo co to znaczyłoby a₋₁. Zaczynamy od pierwszego wyrazu, ewentualnie od zerowego). ponieważ n≥0, to n²+4n+3n+12>0 i n²+8n+7n+56>0 co znaczy że:

n2+4n+3n+12
	>0
n2+8n+7n+56

czyli nasz ciąg jest rosnący. Teraz spróbuj sam zrobić to swoje. Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.

Przemysław: Jakby co, to pytaj

Marek: Okej, dzięki, że mi to rozpisałeś.

	(n+1)+1
Czyli jeśli mam		> n+1n+3
	(n+1)+3

Marek: Tak?

Przemysław: Tak, to wtedy będzie rosnący

Marek: Spróbuję to rozpisać, sprawdzisz czy dobrze bym to rozwiązał?

Przemysław: OK

Marek:

(n+2) (n+1)		n2+2n+n+2
	=
(n+4) (n+3)		n2+4n+3n+12

Marek: To wynik końcowy ?

Przemysław: Wiesz co, przepraszam Cię bardzo − wprowadziłem Cię w błąd tym, że ja nie umiem odejmować.

Marek: Tzn? Bo ja nie rozumiem

Przemysław: Może spróbuję jeszcze raz, na Twoim przykładzie:

n+2		n+1		(n+2)(n+3)−(n+1)(n+4)
	−		=		=
n+4		n+3		(n+4)(n+3)

	n2+2n+3n+6−(n2+n+4n+4)
=		=
	(n+4)(n+3)

	n2+5n+6−n2−5n−4
=		=
	(n+4)(n+3)

	2
=
	(n+4)(n+3)

i teraz mianownik jest większy od zera, bo n>0 no i całość większa od zera.

Przemysław: Chodzi o to, że ja w tym moim "przykładzie" z 18:56 zamiast odjąć pomnożyłem ułamki. Nazwijmy to zmęczeniem, chociaż tak to zawsze się można tłumaczyć. Przepraszam Cię Może jeszcze takie coś spróbuj:

	n+2
an=
	n+6

Przemysław: Bo ogólnie chcąc wykonać:

x		a
	−
y		b

chcemy najpierw uzyskać wspólny mianownik. robimy więc:

x		b		xb
	*		=
y		b		yb

i

a		y		ay
	*		=
b		y		yb

teraz możemy odjąć:

xb		ay		xb−ay
	−		=
yb		yb		yb

No i w naszym przypadku było: x=n+2 y=n+4 a=n+1 b=n+3

Marek: Dzięki wielkie za pomoc, lecę dalej z zadaniami, tamten przykład potem potrenuję, jutro pk z ciągów więc nie raz wpadnę na forum

Przemysław: OK. Mam nadzieję, że rozumiesz, bo namieszałem trochę

Przemysław: Tylko na tej pracy klasowej nie wpadaj na forum...

Marek: Tutaj korzystam z czegoś jak nie rozumiem