marcin: Od razu zadanie: Rozważ czy liczba 2008 może być sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych. a²+b²=2008. Stworzyłem prościutki program i wiem, że takich liczb nie ma, ale nie wiem jak tego dowieść matematycznie.

pipi: Mysle ,ze trzeba rozwazyc przypadki dwie liczby parzyste dwie nieparzyste parzysta i nieparzysta np dla parzystej inieparzystej mamy (2n)kw + (2n+1)kw =2008 8n kw +4n -2007=0 jak obliczysz Δ -tę to będzie liczba niewymierną Δ= 16(1+2*2007) pierwiastek z Δ-ta niewymierny czyli nie ma takich liczb podobnie dla pozostalych Dobrze myślę? odpisz czy tak myśle ,że tak nawet jestem pewna pozdrówka

b.: pipi: dla parzystej i nieparzystej oczywiście się dostanie sprzeczność, bo suma parzystej i nieparzystej daje nieparzystą, czyli nie da 2008 2008 = 8*251 i 251 jest liczbą pierwszą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, więc 2008 nie przedstawia się w postaci sumy dwóch kwadratów. Dlaczego? Jest na to odp. twierdzenie, zob. np. tutaj (usun spacje z adresu): http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_ on_sums_ of_two _squares cytat: Since the Brahmagupta–Fibonacci identity implies that the product of two integers that can be written as the sum of two squares is itself expressible as the sum of two squares, this shows that any positive integer, all of whose odd prime factors congruent to 3 modulo 4 occur to an even exponent, is expressible as a sum of two squares. The converse also holds. Ale proponowałbym zastanowić sie samemu w tym przypadku nad bezpośrednim dowodem, powinno się udać. Wskazówka: kwadrat liczby całkowitej daje resztę 0 albo 1 przy dzieleniu przez 4.

pipi: marcin podobnie otrzymasz liczbe niewymierną z pod pierwiastka przy dwu parzystych i dwu nieparzystych co kończ dowód tak uważam i napewno tak jest , bo tylko te przypadki należy rozpatrzyć bo innych mozliwości nie ma to w/g mnie najprostsza dedukcja jeżeli chodzi o liczby naturalne tylko rozważenie (2n 2n+1), (2n ,2n ), (2n +1 , 2n+1) takie moje zdanie inic tu wiecej nie trzeba rozpatrywać by to w najprostsz sposób wykazac Jezeli Cie nie przekonałam to szkoda

pipi: Jeszcze dodam ,że matematyczny dowód najprościej jak tylko się da to trzy równania kwadratowe gdzie we wszystkich pojawia sie pierwiastekkw. z 251 ,który jest liczba niewymierna tak zgadzasz się dobrej nocki!

marcin: pipi: 2009 jest sumą kwadratów 35 i 28, czyli twój przypadek 2n i 2n+1, jednak i tak √Δ dla 2009 i tak wychodzi niewymierny b.: twoje jest troszkę za skomplikowane jak na własne rozwiązanie gdyż teoretycznie nie znam tego twierdzenia Ja spróbowałem tak: Jeżeli 2008 = x² + y² to: x<=√2008 i y<=√2008; Następnie przekształcamy do wzoru 2008 - x² = y² i sprawdzamy czy istnieją takie naturalne x mniejsze równe ~44,8 przy których 2008 - x² daje kwadrat liczby całkowitej.

pipi: Witam przeciez chcemy wykazać ,że suma kw. dwu liczb naturalnych jest = 2008 co w kazdym przypadku daje nam niewymierny pierwiastek wyróznika i kończy dowód Upieram się przy tym rozumowaniu i ,bo w/g mnie jest jaknajbardziej poprawne Zbyt wnikliwa dedukcja przy oczywistych przypadkach staje się okrężną drogą do rozwiązania problemu( to taka moja filozofia- na skróty) myśl dalej , myslenie ma zawsze przyszłość....powodzenia, cierpliwości i pozytywnych wyników pozdrawiam PS: Jeżeli uporasz sie z tym dowodem mam nadzieje,że pochwalisz sie sukcesem czekam z niecierpliwością.

marcin: pipi: ale twój dowód pokazuję, że 2009, które można rozłożyć na 35² + 29², nie można rozłożyć na sumę kwadratów liczb naturalnych, co jest nieprawdą i łamie ten dowód. Poza tym n przy każdej z tych liczb czy to parzystej czy nie jest inne.

Mycha: pipi jezeli chodzi o Twoj dowod (to co napisalas na poczatku) to w tym momencie zakladasz ze sa to kolejne liczby(w przypadku jednej parzystej i jednej nieparzystej liczby) dlatego przy 2009 tez wychodzi ze takich liczb nie ma

pipi: Marcin 35*35 +29*29 =2066 a nie 2009 już jestem zmeczona więc myślenie siadło całkowicie, dobrze,,,,ze jeszcze wiem ,że jutro nowy dzień DOBRANOC

marcin: pomyłka mała 35 i 28 , we wcześniejszym poście napisałem dobrze , a np. 2005 ma 2 rozkłady 41 i 18, oraz 39 i 22 , c++ prawdę ci powie

pipi: o czym My mówimy o 2008 roku czy o liczbie 2008 tylko dla niej miał być ten dowód bo proste,,,ze i 3*3 + 4*4 =25 zrozumiałam,ze dowód dotyczy tylko równania a*a +b*b = 2008 stąd moja pewność takiego przeprowadzenia dowodu spadam ,bo głowa pełna kwadratów w końcu roku 2008

b.: Tak Marcin, Twoje rozumowanie jest dobre. Można je nieco przyspieszyć patrząc na reszty z dzielenia np. przez 4. Kwadrat każdej liczby całkowitej daje resztę 0 albo 1 przy dzieleniu przez 4, więc suma dwóch kwadratów daje resztę 0, 1 albo 2. A ponieważ 2008 dzieli się przez 4, więc jeśli 2008=a²+b², to obie liczby a,b muszą być parzyste. Czyli a=2m, b=2n i mamy 502=m²+n². No i teraz patrzymy znowu na resztę z dzielenia przez 4, 502 daje resztę 2, więc m i n muszą być nieparzyste, itd...

pipi: OK Marcin (b)

marcin: "Kwadrat każdej liczby całkowitej daje resztę 0 albo 1 przy dzieleniu przez 4, więc suma dwóch kwadratów daje resztę 0, 1 albo 2." - w drodze do domu tak ~15:30 do tego doszedłem Znaczy to jest tak: jak liczba wyraża się przez 4k +1 to zawsze rozkłada się na sumę kwadratów, jeżeli zaś przez wzór 4k+0 lub 4k+1 to czasami rozkłada się na sumę kwadratów. Więc co ma da to: "A ponieważ 2008 dzieli się przez 4, więc jeśli 2008=a2+b2, to obie liczby a,b muszą być parzyste. Czyli a=2m, b=2n i mamy 502=m2+n2. No i teraz patrzymy znowu na resztę z dzielenia przez 4, 502 daje resztę 2, więc m i n muszą być nieparzyste, itd.." Co to nam da?

b.: Zawęża obszar poszukiwań. cytuję ,,Następnie przekształcamy do wzoru 2008 - x2 = y2 i sprawdzamy czy istnieją takie naturalne x mniejsze równe ~44,8 przy których 2008 - x2 daje kwadrat liczby całkowitej.'' czyli wstawiasz x=1,2,3,...44 i sprawdzasz, zgadza się? 1. jak zauważysz to co wyżej napisałem, wystarczy sprawdzać x=2,4,6,...,44 2. z drugiej uwagi wystarczy sprawdzać x=2,6,10,...,42 (liczby postaci 2*nieparzysta) możesz sprawdzić 44 możliwości, możesz 22, możesz 11 (a przypuszczalnie nawet jeszcze mniej...)

marcin: ok, faktycznie masz racje thx. chociaż jeżeli zadanie jest rozważ, czy 2008... itd to, z drugiej strony mogę powiedzieć, że jeżeli 2008 przedstawia się jako 4k + 3, a na sumę kwadratów można rozbić zawsze liczbę wyrażoną wzorem 4k +1, a czasami liczbę wyrażoną wzorem 4k lub 4k + 2, to 2008 na pewno nie ma sumy kwadratów. Te czasami przy 4k oraz 4k + 2 wywodzi się z tego, że np. 6 = 4 x 1 + 2, a nie da się wyrazić przez sumę kwadratów (ale 18 = 4 x 4 +2, da się) oraz 12 = 4 * 3, a nie da się wyrazić przez sumę kwadratów (ale 36 = 9 x 4, da się) [czyli przez podanie przykładów nieprawdziwych].

b.: ,,jeżeli 2008 przedstawia się jako 4k + 3'' ...no ale się nie przedstawia gdyby było pytanie o np. 2007, to by było dużo łatwiej Nie zawsze można rozbić liczbę postaci 4k+1 na sumę kwadratów, np. 21 się nie da. Twierdzenie jest takie: n NIE da się rozbić na sumę 2 kwadratów ⇔ istnieje liczba pierwsza p postaci 4k+3 taka, że maksymalna potęga z jaką p dzieli n jest nieparzysta (tzn. dla pewnej liczby nieparzystej w liczba p^w dzieli n, ale p^w+1 już nie dzieli n) (pipi: oczywiście to jest spoza programu liceum, ale moim zdaniem jest ciekawe ) czyli np. 21=3*7 się nie da, bo 3 dzieli 21, a 3² nie, no i 3 jest postaci 4k+3 (tak samo jest zresztą z drugim dzielnikiem: 7) ale 36 się da, bo 36=2*2*3*3 i jedyną liczbą pierwszą postaci 4k+3, która dzieli 36 jest 3, no ale 3 dzieli 36 max w potędze parzystej: 3² dzieli 36, a 3³ już nie no i tak też jest z 2008: 2008=8*251 i 251 jest l. pierwszą postaci 4k+3 (251 dzieli 2008, 251² nie) dowód twierdzenia jest dość elementarny i nie za długi, no ale samemu ciężko by było coś takiego udowodnić

pi ..kwadrat : Zgadzam się,ze ciekawe i pobudza do myslenia (jak wszystko w tej "królowej nauk' Szoda mi tylko,że za dużo "nabiło" mi lat! i wiadomości nabyte na studiach matematycznych już niestety uciekły . Dobrze ,,,,,,ze zdrowie dopisuje Chce mi się jeszcze pomagać co nieco "dzieciakom" i daje i to wielka radość i satysfakcję,że jeszcze co nieco w głowie pozostało( 20 lat minęło kiedy to przestałam mieć kontakt z młodzieżą.(uczac matmy) Myśle,że tu nie zajrzą i nie dowiedzą sie kim jest "pipi" wybaczcie mi ,że czasami pomylę jakes znaki i obliczonka . matma zawsze yła najwiekszą moja pasją a praca z młodzieżą(może to dziwne w dzisiejszych czasach) dawała mi pełną satysfakcję Do dzisiaj w portalu " nk" dostaję tego dowody i tym bardziej jestem usatysfakcjonowana W/g Was czy mam pomagać czy nie Mam nadzieję,ze zmienicie zdanie o "pipi" niczego nie bajeruję zawsze byłam "nauczycielem-kumplem" i tego do dzisjaj nie żałuję pozdrawiam "tęgie głowy "matematyczne tzn Marcina i "b"

marcin: ,,jeżeli 2008 przedstawia się jako 4k + 3'' ...no ale się nie przedstawia. faktycznie troszkę mi się pomieszało. no to wydaje się, że najprostszą metodą bez używania twierdzenia jest to co ja proponowałem + obniżenie możliwości

b.: pipi: pomagaj, pomagaj nie bierz za bardzo do siebie ewentualnych poprawek np. moich, po prostu, jak widzę że ktoś pomaga niepoprawnie, to się wtrącam - chyba nie masz nic przeciwko? a pomyłki zdarzają się każdemu pozdrowienia

paula: suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa 221. Jakie to liczby?

%3Cpre%3E%3Cb%3Epaula%3A%3C%2Fb%3E%20suma%20kwadrat%C3%B3w%20dw%C3%B3ch%20kolejnych%20liczb%20naturalnych%20jest%20r%C3%B3wna%20221.%20Jakie%20to%20liczby%3F%0A%3C%2Fpre%3E

Mila: 1) 2008=2³*251=8*(4*62+3) Liczba pierwsza 251 jest postaci ( 4k+3) w nieparzystej potędze, zatem 2008 nie da się przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych 2) 221=13*17 obie liczby pierwsze są postaci (4k+1), k∊N 221=(3²+2²)*(4²+1²)= =(3*4+2*1)²+(3*1−2*4)²=14²+5²