Calki podwojne Pawel: Oblicz za pomocą współrzędnych biegunowych całkę podwójną a) ∫∫_(G)√x²+y²dxdy, (G) = {x²+ (y−1)² ≤ 1} odp. 32/9 b) ∫∫_(G)xydxdy, (G) = {(x−1)² + y² ≤ 1, y ≥ 0} odp. 2/3 Pierwsze przyklady, w których obszarem całkowania było kolo o srodku w punkcie S=(0,0) mi wychodziły. Ale nastepne juz nie, jakie φ i r trzeba przyjąć ?

Kacper: No trzeba sobie odpowiednio przesunąć

Pawel: Miałem mała przerwę. Wczesniej robiłem to tak. ∫∫_(G) √x²+y²dxdx = ∫^π₀dφ ∫²₀|r|rdr = π*1/3(8−0) = 8/3π I nie mam pojecia jak to zrobic, bo nawet przy innych ograniczeniach r v φ wynik bedzie w postaci A*π

Pawel: Up

J: a) D: 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ r ≤ 2sinφ

	1		8
...= ∫∫r2drdφ = ∫π0 [		r3]dr = ∫π0		sin3φdφ =
	3		3

	8		1		8		1		1
=		[		cos3φ − cosφ] =		[−		+ 1 − (		− 1)] =
	3		3		3		3		3

	8		4		32
=		*		−
	3		3		9

J:

	π
b) D: 0 ≤ φ ≤
	2

0 ≤ r ≤ 2cosφ

	1		1
= ∫∫r3sinφcosφdrdφ = ∫0π/2[		r4]dφ = ∫0π/2		*16cos4φ*cosφsinφdφ =
	4		4

	1		1		2
= 4∫0π/2cos5φsinφdφ = −4*[		cos6φ] = −4[ 0 −		] =
	6		6		3

Pawel: Dziękuję.