nierówność a + b + c > 3 aw: Wykaż, że jeżeli liczba a, b, c, są dodatnie i ab + bc + ca > a + b + c, to a + b + c > 3. Próbowałem wykorzystać, że średnia arytmetyczna jest większa lub równa od średniej geometrycznej ale do niczego sensownego nie mogę dojść. Będę wdzięczny za jakąś podpowiedź.

Eta: a,b,c>0 i ab+bc+ac>a+b+c to a+b+c>3 Ze znanych nierówności a²+b²>2ab a²+c²>2ac b²+c²>2bc + −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2(a²+b²+c²)>2(ab+bc+ac) ⇒a²+b²+c²>ab+bc+ac ⇒ (a+b+c)²−2ab−2bc−2ac>ab+bc+ac to (a+b+c)²> 3(ab+bc+ac) i z założenia ab+bc+ac>a+b+c ⇒ 3(ab+bc+ac)>3(a+b+c) otrzymujemy: 3(a+b+c)<3(ab+bc+ac)< (a+b+c)² /: (a+b+c)≠0 3< a+b+c co daje tezę a+b+c>3