Zespolone Benny: z' − z sprzężone z'⁴*z²=16i|z|² |z|²*z'³*z−16i*|z|²=0 |z|²(z'³*z−16i)=0 |z|²=0 lub z'³*z−16i=0 Z pierwszego oczywiście x=0 i y=0 Z drugiego:

	π		π
|z|3(cos3φ−isin3φ)*|z|(cosφ+isinφ)=16(cos		+isin		)
	2		2

Z tego dostaniemy, że |z|⁴=16, a jak teraz porównać kąty?

PW: z̅⁴·z² = z̅²(z̅²z²) = z̅²(zz̅)² = z̅²|z|²

Benny: @PW jesteś pewny? z=x+iy z'=x−iy z*z'=x²+y² |z|=√x²+y² |z|²=x²+y²=z*z'

PW: No właśnie udowodniłeś to z czego korzystałem: z·z̅ = |z|², tylko w ostatnim przejściu zamiast |z|⁴ napisałem |z|² Przepraszam.

Benny: Ja to rozumiem, ale w moim poście chodziło mi o porównanie kątów. Za pomocą postaci wykładniczej wiem jak to rozwiązać, ale jak to będzie z postacią trygonometryczną?

PW: z̅²|z|⁴ = 16i|z|² Pomijając oczywiste z = 0 mamy więc do rozwiązania równanie z̅²|z|² = 16i Prawa strona jest liczbą "czysto urojoną", więc lewa też. Kiedy z̅² jest liczbą "czysto urojoną"? (x−iy)² = x²−y² − 2xyi, a więc musi być x=y lub y = −x, czyli z̅ = x − ix lub z̅ = x + ix z̅ = x(1 − i) lub z̅ = x(1 + i), z̅² = x²(−2i) lub z̅² = x²(2i) natomiast |z|² = 2x². Rozwiązanie polega więc na rozwiązaniu prostego równania zmiennej rzeczywistej x. Nie namówisz mnie na rozważanie kątów i tej całej zabawy trygonometrycznej.

Benny: Nie lubisz się bawić? Mi nie chodzi o rozwiązanie, bo wiem jak inaczej rozwiązać. Chodzi o sam sposób

Mila: Podpowiedź:

	π		π
[cos(−3φ)+i sin(−3φ)]*(cosφ+isinφ)=cos		+i sin
	2		2

	π		π
[cos(−2φ)+i sin(−2φ)]=cos		+i sin
	2		2

Benny: Tak robiłem, ale nie jestem pewny czy przy tablicy tak samo była zapisana ta postać trygonometryczna.

Mila:

	π
−2φ=		+2kπ i 0≤φ≤2π
	2

rozwiąż i sprawdź.

Benny: Jak myślisz w równaniach tego typu lepiej liczyć z postaci wykładniczej czy trygonometrycznej?

Mila: Masz osiągnąć cel. Wybierz sposób ten, który dla Ciebie łatwiejszy. W tym zadaniu ja liczyłabym z postaci wykładniczej. A jak liczyliście na ćwiczeniach?

Benny: Z postaci trygonometrycznej, ale właśnie nie pamiętam czy było do końca rozwiązane, bo robiłem właśnie z postaci wykładniczej.