Granice ciągów Ola: Zadanie 1. Oblicz granicę ciągów: 1) a_n=(n+3)(2n+1) 2) b_n=(n²+1)/(n³+n+1) 3) c_n=(3ⁿ+4ⁿ)/5ⁿ 4) d_n=(1+2+...+n)/n 5) e_n=√n²+1−n 6) f_n=√n²+n−n 7) g_n=(sin n)/n 8) h_n=ⁿ√8 9) a_n=(1+(1/n))²ⁿ 10) b_n=(n/(n+1))ⁿ 11) c_n=((2n+1)/2n)ⁿ 12) d_n=(1−1/n)ⁿ² Zadanie 2. Znajdź granicę niewłaściwe, o ile istnieją. 1) a_n=(n²+1)/(n+1) 2) b_n=1000n²−n³ 3) c_n=3ⁿ−2ⁿ 4) d_n=3ⁿ−(−2)ⁿ Zadanie 3 Jeżeli dla dodatnich funkcji f i g lim_n→∞ f(n)/g(n) = a, gdzie 0<a<∞, to mówimy, że f i g są tego samego rzędu; jeżeli a=1 − mówimy że są asymptotycznie równe. a) Pokaż, że 1+2+...+n jest rzędu n²

	n k
b) Dla jakiego a		jest asymptotycznie równe ank ?

ax: TO TYLKO TYLE?

sushi_gg6397228: a jakiś własny wkład ?

Ola: Z tym zad 1 chciałam tylko sprawdzić jakie wychodzą granicę. Wiem, jak się mniej więcej to rozpisuje, ale jednak wolałabym sprawdzić. Problem mam przy zad 1 3,7,8 w górę. Zad 3 nie rozumiem zupełnie.

sushi_gg6397228: zapisz swoje obliczenia do każdego przykładu, to się sprawdzi

Ola: Ok Zad 1 (w domyśle na dole pod lim n→∞) 1) lim (n+3)(2n+1) = lim (2n²+7n+3)= lim n²(2+7/n+3/n²) = 2 (bo 7/n i 3/n² dążą do 0, a n² dąży do ∞) 2) lim (n²+1)/(n³+n+1) = lim [(n³ (1/n + 1/n³) / n³ (1+1/n² + 1/n³) = 0 (bo n³ się skraca, a reszta ułamków dąży do 0) za trzecie kompletnie nie wiem jak się zabrać 3) 1+2+...+n to ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi (n² +n)/2, czyli lim [(n² +n)/2)*1/n] = lim (n²+n)/2n = lim [(n²(1+1/n)) / 2n] = lim [n(1+1/n)]/2 = ....tu mam wątpliwość

sushi_gg6397228: 1. jak jest wielomian ( n−>∞), to nie ma co się rozmieniać na drobne; granica =∞ 2. ..=0 3. rozbic na dwa ułamki

sushi_gg6397228: 4

n2+....
	−−>∞
n+...

Janek191:

	1		1
an = ( 1 +		)2n = [ ( 1 +		)n]2
	n		n

więc lim a_n = e² n→∞

Janek191:

	1 + 2 + ... + n		0,5 n*(n +1)
dn =		=		=0,5*( n +1)
	n		n

więc lim d_n = +∞ n→∞

Ola: Ok, dzięki A jak zrobić to z sin n?

sushi_gg6397228: pisz po kolei przykłady i czekaj na akceptacje e_n=...

Janek191:

	sin n
gn =
	n

−1		sin n		1
	≤		≤
n		n		n

oraz

	−1		1
lim		= 0 i lim		= 0
	n		n

n→∞ n→∞ więc na podstawie tw. o trzech ciągach

	sin n
lim		= 0
	n

n→∞

Janek191:

	a2 − b2
Do en zastosuj wzór a − b =
	a + b

daras: a biedna Ola czeka na akceptację do białego rana..