trojkąty maciek: Sprawdź czy istnieje trójkąt prostokatny którego długości boków sa liczbami pierwszymi. Uzasadnij odpowiedź

PW: Na wszelki wypadek spytam: − Znowu olimpiada?

maciek: nie zadanie domowe

maciek: ale potrzebuje podpowiedzi bo wydaje mi się że nie może być, ale nie wiem jak uzasadnić

PW: Z twierdzenia Pitagorasa wynika przy odpowiednich oznaczeniach c² − b² = a². Kombinuj dalej.

maciek: a podpowiesz jeszcze w którym kierunki "podążać" ? tzn na co zwrócić uwagę

PW: Podążać w kierunku "liczba pierwsza to taka, która nie jest iloczynem ..."

bartek: nawiązując do tego zadania, to myślac logicznie to chyba nie ma takiego trójkąta, bo przeciwprostokątna nigdy chyba nie jest liczbą pierwszą jeśli "przyprostokątne są naturalne". dobrze myślę?

ax: chyba że 3, 4 i 5 Panie bartku

Mila: 4 nie jest liczbą pierwszą.

bartek: ale 4 nie jest liczbą pierwszą

bartek: A więc dobrze rozumuje?

bartek: ?

Kacper: Wystarczy pokazać coś ogólniejszego Każda liczba pierwsza większa od 2 jest także... no właśnie jaka?

bartek: hmm.. nieparzysta?

Kacper: To teraz weźmy trzy liczby nieparzyste i wstawmy do twierdzenia Pitagorasa. Da się?

bartek: Da się, ale jedna z tych liczb będzie niewymierna

bartek: Niedoczytalem Nie da się

Kacper: To masz odpowiedź na swoje zadanko.

PW: c² − b² = a² (c−b)(c+b) = a² Gdyby prawa strona była kwadratem liczby pierwszej, czyli nie dała się inaczej przedstawić jako iloczyn (chyba że przez dodanie czynników równych 1), to i lewa musiałaby mieć taką postać, to znaczy jeden z czynników musiałby być równy a², a drugi 1 ( bo jednakowe nie są) Skoro tak, to jedynką musiałaby być mniejsza z nich, czyli c − b = 1 c = b + 1 Wynika stąd, że obie liczby b i c nie mogą być liczbami pierwszymi gdyż jedna byłaby parzysta, a druga nieparzysta. Podpowiadałem, ale było za trudne wpaść na (c−b )(c+b). Oczywiście podpowiedź Kacpra jest lepsza, ale też pewnie za trudna.

lwg: PW − prawie dobrze czyli niezupełnie. Więcej, niż plus do dwójki postawić nie mogę. Let r and s be two relatively prime natural numbers such that r − s is positive and odd. Then ( r² − s², 2rs, r² + s² ) is a primitive Pythagorean triple, and each primitive Pythagorean triple arises in this way for some r,s [Husemöler, D. Elliptic Curves, Second Edition, Springer, p. 7 − http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Husemoller.pdf], that is to say for all primitive Pythagorean triple there exists different and only one shared pair (r,s). W pitagorejskiej trójce właściwej (boki są are coprime, mutually prime) tylko jedna przyprostokątna jest liczbą parzystą równą 2rs, gdzie liczby r,s są względnie pierwsze takie, że r>s i liczba r − s jest nieparzysta. Zatem przyprostokątna jest zawsze podzielna przez 4, co przeczy przypuszczeniu, że wszystkie boki trójkąta prostokątnego są liczbami pierwszymi.

lwg: Lemat. ... . http://www.zadajpytanie.pl/attachments/get/3143

lwg: PW − prawie dobrze czyli niezupełnie. Więcej, niż plus do dwójki postawić nie mogę. Let r and s be two relatively prime natural numbers such that r − s is positive and odd. Then ( r2 − s2, 2rs, r2 + s2 ) is a primitive Pythagorean triple, and each primitive Pythagorean triple arises in this way for some r,s [Husemöler, D. Elliptic Curves, Second Edition, Springer, p. 7 − http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Husemoller.pdf], that is to say for all primitive Pythagorean triple there exists different and only one shared pair (r,s). http://www.zadajpytanie.pl/attachments/get/3143 W pitagorejskiej trójce właściwej (boki są are coprime, mutually prime) tylko jedna przyprostokątna jest liczbą parzystą równą 2rs, gdzie liczby r,s są względnie pierwsze takie, że r>s i liczba r − s jest nieparzysta. Zatem przyprostokątna jest zawsze podzielna przez 4, co przeczy przypuszczeniu, że wszystkie boki trójkąta prostokątnego są liczbami pierwszymi.

henrys: @Iwg, nie wiem czemu rozpatrujesz wszystkie trójki pitagorejskie? Wiadomo, że długość jednej z przyprostokątnych musi być liczbą parzystą, a jedyną pierwszą parzysta jest 2. 4=c²−b²=(c−b)(c+b), c,b pierwsze, więc c−b i c+b parzyste⇒jedyny taki iloczyn dający 4 to 2*2 i mamy sprzeczność, tyle.

lwg: Panie PW. Żartowałem. Jest piąteczka, ale nie 6.

lwg: Panie henrys. Też piąteczka, ale z minusem. Liczba 4 nie jest różnicą kwadratów o podstawach naturalnych większych od zera. Dlatego wyszedłem z opisu wszystkich trójeczek właściwych. Moja odpowiedź jest celująca.

henrys: Panie Iwg w tym sprzeczność

lwg: Szczerze? Dobrze. Im krócej, tym lepiej. Poprawiam Wasze oceny na 6−teczki.

daras: no to teraz trzeba koniecznie oblać te trudny exam