Postać trygonometryczna liczby zespolonej x: Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej: z=1−cosα+isinα

PW: Jest na to "chytry" sposób.

	α		α
1 = cos2		+ sin2
	2		2

	α		α
cosα = cos2		− sin2
	2		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	α
(1) 1 − cosα = 2sin2		,
	2

natomiast

	α		α
(2) sinα = 2sin		cos		.
	2		2

Po zastosowaniu (1) i (2) liczbę z można przedstawić w postaci

	α		α		α
(3) z = 2sin		(sin		− i cos		).
	2		2		2

Teraz − żeby było jak w postaci trygonometrycznej przystało (najpierw cosφ, potem isinφ) − zauważyć, że

	α		3π		α
(4) sin		= cos(		+		)
	2		2		2

	α		3π		α
(5) − cos		= sin(		+		),
	2		2		2

a więc po podstawieniu (4) i (5) do (3)

	α		3π		α		3π		α
z = 2sin		(cos(		+		) + i sin(		+		)).
	2		2		2		2		2

	α
Jest to postać trygonometryczna pod warunkiem, że 2sin		jest liczbą dodatnią (bo ma to
	2

	α
być |z|), musi być więc sin		> 0, co na szczęście jest prawdą,
	2

	α
sin		> 0
	2

oznacza

	α
0 <		< π,
	2

czyli 0 < α < 2π − kąt α jest dowolny.