nierownosci liczby zespolone Bogdan: Czesc moze mi ktos wytlumaczyc jak postepowac z takimi nierownosciami w liczbach zespolonych: |z−2i | / |z+3| <1, z∊ℂ Rozpisalem to tak : |z −3i | < | z+3| No i teraz co dalej? Podnsic do kwadratu czy jak? Na plaszczyznie zespolonej oznacza to tyle, ze odleglosc od punktu z (3i) musi byc mniejsza niz odleglosc od punktu z (−3).

J: to narysuj symetralną odcinka o końcach: z₁ = − 2 oraz z₂ = 3i i zastanów się ,które punkty spełniają tą nierówność

J: z₁ = − 3 oczywiście

J: no ... w treści jest :I z − 2i I , czyli: z₁ = − 3, z₂ = 2i

Bogdan: Tak ma wygladac ten przedzial? Bo w wolframie pokazuje mi to co zakreskowalem ale wylacnie w 3 i 4 cwiertce. Dlaczego?

Bogdan: Poprawka, nawet inaczej pokazuje w tej 3 i 4 cwiartce niz to co tutaj mam

Bogdan: Wie ktos gdzie jest ta roznica?

Mila: Zbiór punktów spełniających równanie: |z −3i | = | z+3| to symetralna odcinka AB : |z−(0+3i)|=|z−(−3+0i)| A=(0,3) i B=(−3,0) P(x,y) − punkt symetralnej (symetralna to zbiór punktów jednakowo odległych od końców odcinka AB) (x−0)²+(y−3)²=(x+3)²+(y−0)² x²+y²−6y+9=x²+6x+9+y² −6y=6x y=−x Taka nierówność : |z −3i | < | z+3| oznacza zbiór punktów na jednej z półpłaszczyzn. Łatwo ustalisz wybierając punkt np.( 1,3)) i podstawiasz do nierówności z₀=1+3i L=|1+3i−3i|=1 P=|1+3i+3|=|4+3i|=√16+9=5 1<5 zatem wybierasz półpłaszczyznę na symetralną.

Mila: Możesz dojść do tego algebraicznie: |z −3i | < | z+3| z=x+iy |x+iy−3i|<|x+iy+3|⇔ |x+i*(y−3)|<|(x+3)+iy| p{x²+(y−3)²<(x+3)²+y²⇔ x²+y²−6y+9<x²+6x+9+y²⇔ −6y<6x y>−x punkty nad prostą y=−x bez punktów na prostej