zespolone studia: Zespolone

(−√3−i)12
	*(1−i)10
(1+√3i)4

Po postaci trygonometrycznej i podnoszeniu do potegi jest cos takiego;

212(1+0i)
	*25(0−i)
1   √3   24(− − i)   2   2

ale nie wiem jak dalej z tym poleciec, zeby to uproscic

Janek191:

	1		√3
Pomnożyć licznik i mianownik przez: ( −		+		i )
	2		2

oraz 1 + 0 i = 1 0 − i = − i

studia:

	1
a jak jest tam −		to mozna poleciec ze wzorem a2−b2 jak on by wyglądał dla minusowego
	2

a?

J: (−1/2)² − (√3/2)²

J: w drugim nawiasie oczywiście: (√3/2*i)²

studia: da sie to w ogole jakos szybciej zrobic niz postacia trygonometryczna i de moivre? bo takie obliczenia dlugie wychodza ze mam gdzies blad i trudno mi znalezc gdzie : /

studia: i nie wiem czy przy stosowaniu tej postaci czy dalej w tym dzialaniu : /

Mila: Trochę trzeba przekształcić i wykorzystać własności.

	(−1)12*(√3+i)12
z=		*(1−i)10=
	(1+i*√3)4

[1) z₁=(√3+i) |z₁|=2

	√3		1		π
cosφ1=		, sinφ1=		⇔φ1=
	2		2		6

2) z₂=(1+i*√3) |z₂|=2

	1		√3		π
cosφ2=		, sinφ2=		⇔φ2=
	2		2		3

3)z₃=1−i |z|3|=√2

	√2		√2		π		7π
cosφ3=		, sinφ3=−		⇔φ3=2π−		=
	2		2		4		4

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	π   π   212*[cos(12* )+sin(12* )]   6   6
z=		*
	π   π   24*[cos(4* )+i sin (4* )]   3   3

	7π		7π
*(√2)10*[cos(10*		)+isin(10*		)]=
	4		4

	4π		4π		35π		35π
=213*[cos(2π−		)+i sin(cos(2π−		)]*[cos(		)+isin(		)]=
	3		3		2		2

	2π		2π		3π		3π
=213*[cos(		)+i sin (		)]*[cos(		)+isin(		)]=
	3		3		2		2

	2π		3π		2π		3π
=213*[cos(		+		)+i sin(		+		)=
	3		2		3		2

	π		π		√3		1
=213*[cos		+i sin		]=213*(		+i *		)=
	6		6		2		2

=2¹²*(√3+i) ============

PW: W zadaniu występują "magiczne liczby". (1+i)² = 1² +2i+ i² = 2i − dowolną potęgę tej liczby liczy się bez problemów. (1+√3i)² = 1² + 2√3i +(√3i)² = −2 + 2√3i = −2(1−√3i)

	1		1 −√3i
−√3 − i =		(−i2 − √3i) =
	i		i

Po zauważeniu tego staje się oczywiste, że nie ma sensu zamieniać niczego na postać trygonometryczną, wystarczy wykonać uważnie działania.

PW: Mila, nie widziałem oczywiście Twojego rozwiązania, ale dzięki temu studia mogą przećwiczyć dwa podejścia

Mila: II sposób

(−1)12*[(√3+i)3]4*[(1−i)2]5
	=
[(1+√3*i)2]2

	[3√3+3*3i+3*√3*(−1)−i]4*[−2i]5
=		=
	(−2+2√3i)2

	(8i)4*(−2)5*i5
=		=
	4−8√3i−12

	212*(−32)i		214*i		214*i		(1−√3i
=		=		=		*		=
	−8*(1+√3i)		1+√3i		1+√3i		1−√3i

	214*i*(1−√3i)		214*(1i+√3)
=		=		=212*(√3+i)
	1+3		4

Mila: A teraz PW, ja nie widziałam Twojego.

Mila: Szkoda jednak, że student nie patrzy na nasze wysiłki, aby udzielić mu wsparcia.

student: patrzy patrzy i dziekuje

Mila: to pięknie.

student: jeszcze takie pytanko co do funkcji trygonometrycznych, bo robie od poczatku tylko ze teraz z wartosciami z pi, tak jak Mila, ale uproscilem je sobie wczesniej i nie jestem pewien jak to zrobic; jak wykonac takie dzialanie na przyklad? (cos 0 + isin 0) / (−cos π/3 −isin π/3)

Janek191:

cos 0 + i sin 0		1
	=		=
− cos π3 − i sin π3		− ( 12 + i √32)

	− 1*( 12 − i √32)
=		=
	( 12 − i √32)*( 12 + i √32)

	− ( 12 − i √32)		1		√3
=		= −		+ i
	14 + 34		2		2

studia: A da sie to zrobic na liczbach z pi, tak jak mila wyzej ?

Mila: Skąd ten mianownik z minusami? To nie jest postać trygonometryczna. Napisz całe zadanie.

student: mam nadzieje ze da sie rozczytac http://i.imgur.com/W8MXcAz.jpg

Mila: Zaraz policzę i napiszę uwagi.

Mila: Argumenty dobrze obliczone. Wyjaśniam jak to obliczyłam wcześniej. zsup>12=2¹²*[cos(2π)+i sin(2π)]

	4π		4π
z24=24* [cos		+i sin (		]
	3		3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

z112		212*[cos(2π)+i sin(2π)]
	=		=
z24		4π   4π   24* [cos +i sin ( ]   3   3

argumenty odejmujemy

	2π		2π
=28*[cos(		)+i sin (		] nie liczymy na razie wartości
	3		3

====================== z₃=1−i |z₃|=√2

	7π
φ=
	4

	7π		7π
z310=√210*(cos(		*10)+i sin (		*10)]=
	4		4

	35π		35π		3π		3π
=25*(cos		+i sin		)=25*[cos(16π+		)+i sin(16π+		)]=
	2		2		2		2

	3π		3π
=25 *[cos		+i sin		] na razie nie liczymy wartości
	2		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	2π		2π		3π		3π
28*[cos(		)+i sin (		] *25 *[cos		+i sin		] =
	3		3		2		2

argumenty dodajemy

	2π		3π		2π		3π
=213*[cos(		+		)+i sin (		+		)]=
	3		2		3		2

	13π		13π
=213*[cos(		)+i sin(		)]=
	6		6

	π		π
=213*[cos		)+i sin (		)]=
	6		6

	√3		1
=213*(		+		*i)=
	2		2

=2¹²*(√3+i) =========

Mila: Oj , coś mi małe literki wyszły.

student: Czyli jak sie mnozy/dzieli funkcje trygonometryczne o tych samych znakach to po prostu odejmuje/dodaje sie ich wartosci? a tego do czego ja doprowadzilem nie da sie podzielic tak?

Mila: Podkreślone wyniki dla z₂ i 3₃ to nie są postacie trygonometryczne , a zasada jest podana do postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Wyłącz (−1) z obu postaci i podziel.

student: yaay wyszlo, ten sposob od PW tez zajebisty, dziekuje wszystkim ****