nierówność z wartością bezwzględną Marusia: Jak rozwiązać tą nierówność

	x +3
|		|>0
	x − 1

dziedzina R\{1} x+3>0 więc x>−3 x E(−3,1) ∪ (1,∞) w odpowiedzi jest jednak (−∞,−3) ∪ (−3,1) ∪ (1,∞) dlaczego? Z czego to wynika?

pigor: ..., z def. |x| i jej(go) własności

	x+3		|x+3|
|		|>0 ⇔		>0 i x≠1 ⇔ |x+3|>0 i x≠1 ⇔ x≠−3 i x≠1 ⇔
	x−1		|x−1|

⇔ x∊R \ {−3,1} ⇔ x∊(−∞;−3) U (−3;1) U (1;+∞) .

Marusia: dzięki, nie wzięłam pod uwagę licznika

5-latek: To Marusia pytanie

	x+3		|x+3|
Dlaczego |		|=		? Czy naprawdę możemy tak zapisac ?
	x−1		|x−1|

Jeśli nie to dlaczego ? Jeśli tak to dlaczego ?

marusia: do 5−latek i wszystkich chętnych mi pomóc: wałkuję te wartości bezwzględne i jedne nierówności mi wychodzą inne nie. Z równaniami jest trochę lepiej. Ale wracając do mojego przykładu:

	a		|a|
wykorzystuję własność |		|>0 ⇔		>0
	b		|b|

i teraz (nie wiem czy dobrze myślę) |a|>0 i |b|>0 lub |a|<0 i |b|<0 (bo ułamek >0 więc licznik i mianownik tego samego znaku) A gdybym miała po prawej stronie liczbę, to mogę zrobić tak?

	3−x
|		|>2 Dziedzina 3−x≠0 ⇒x≠3 i x+1≠0⇒x≠−1 więc x∊R\{−1,3}
	x+1

wyznaczając dziedzinę, gdy cały ułamek jest pod modułem zawsze rozpatruję mianownik i licznik− tak? i teraz

3−x		3−x
	>2 lub V		<−2
x+1		x+1

dwójkę przenieść na lewo, wspólny mianownik

	a		a
teraz wykorzystać własność, że		>0 ⇔a*b>0 V		<0 ⇔a*b<0
	b		b

	1
wyszło mi x∊(−5,−1)∪(−1,		)
	3

	3−x
|		|<2 dziedzina ta sama
	x+1

i teraz

3−x		3−x
	<2 i		>−2 dalej jak wyżej
x+1		x+1

jestem nowa na tym forum, muszę ogarnąć te moduły (i pisanie czytelnych postów) więc próbuję wszystkie możliwe warianty wartości bezwzględnych w wyrażeniach wymiernych.

J:

	a
I		I > 0 ⇔ b ≠ 0 ( bo mianownik nie moźe być równy 0 )
	b

	a
i a ≠ 0 ( bo tylko w tym przypadku I		I = 0)
	b

marusia: A dalsza część jest dobrze?

J:

	3−x
źle ... I		I > 2
	x+1

Dziedzina: x ≠ − 1

	3−x		3−x		3−x
I		I > 2 ⇔		> 2 lub		< − 2
	x+1		x+1		x+1

marusia: moje kluczowe pytanie "wyznaczając dziedzinę, gdy cały ułamek jest pod modułem zawsze rozpatruję mianownik i licznik" wychodzi na to, że nie......

	a		|a|
|		|>0 ⇔		>0 tu do dziedziny |b|≠0 bo w mianowniku nie może być zero.
	b		|b|

|a| i |b| czyli licznik i mianownik >0, bo wartość bezwz. z modułu całego ułamka jest zawsze ≥0

	a		|a|
i dalej , gdy mam np. |		|<2 ⇔		<2
	b		|b|

to wyznaczając dziedzinę zakładam, że mianownik ≠0 (licznik zostawiam w spokoju) sprawdzi mi ktoś jeszcze takie przykłady?

	x−1
|		|≤0 D=R\{−7}
	x+7

| x−1|
	≤0 ⇒x−1=0 ⇒x=1
|x+7|

J: wyznaczając dziedzinę, rozpatrujesz tylko mianownik Ostatni przykład dobrze ... ale niepotrzebna druga linijka

	x−1
I		I ≤ 0 ⇔ x = 1
	x+7

marusia: no.... to już jakieś światełko w tunelu

| x−1|
	>0 D=R\{0,1} bo mianownik musi ≠0, licznik też aby ułamek był ≠ 0
x

J: x jest bez wartości bezwzglednej ?

marusia: w mianowniku bez modułu

J: no to nie tak .. D = R/{0} ... ⇔ Ix−1I*x > 0 ⇔ x ≠ 1 i x > 0

marusia: światełko w tunelu zgasło...chyba jestem blondynką (nie ubliżając nikomu), mimo, że patrząc w lustro widzę czarnulkę. Chyba nigdy tego nie ogarnę. Rozwiązaniem jest x∊(0,1)∪(1,∞)? Robię sobie przerwę, ale wieczorem wrócę do tych bezwzględnych dla mnie wartości

J: Ix−1I*x > 0 ...jeśli wykluczymy x = − 1 , to Ix −1I >0 (dla dowolnego x), zatem aby ten iloczyn był dodatni, to liczba x też musi być dodatnia, czyli: x ≠ −1 i x > 0

patryś:

marusia: do J : dlaczego nagle x≠−1 ? wróć do swojego postu o 16.56 z tym bym się zgodziła. natomiast z x≠−1 już niekoniecznie.

J: pomyłka ... oczywiście miało być: x ≠ 1

marusia: J sprawdź

|x|
	>2 D=R\{−2}
x+2

dla x≥0 x∊∅

	1
dla x<0 x∊(−2,−1		)
	3

	1
rozwiązaniem nierówności jest x∊(−2,−1		)
	3

marusia: sprawdzi ktoś?

pigor: ...,

|x|
	>2 /*(x+2)2 i x+2≠0 ⇔ |x|(x+2)−2(x+2)2 >0 i x≠ −2 ⇔
x+2

⇔ (x+2) (|x|−2x−4) >0 i x∊R \{−2} ⇔ ⇔ ( (x+2)(−3x−4) >0 i x∊R₋ \ {−2} ) v ( (x+2)(−x−4) >0 i x∊R₊U{0} ) ⇔ ⇔ (x+2)(x+⁴₃)< 0 i x∊R₋ \ {−2} ) v ( (x+2)(x+4)< 0 i x∊R₊U{0} ) ⇔ ⇔ −2< x< −⁴₃ v x∊∅ ⇔ x∊(−2;−1¹₃)... , a więc zgadzamy się, czyli pozwolę sobie stwierdzić, że ... mamy dobrze .

marusia: super − trochę inny zapis rozwiązywania niż mój. Baaardzo dziękuję.