Jak obliczyć granicę tego ciągu?
Agnieszka: Hej! Czy mógłby ktoś mi pomóc rozwiązać granicę tego ciągu?
Nie mam o tym zielonego pojęcia a zadanie to wraz z objaśnieniem jest mi bardzo potrzebne...
Pozdrawiamy Aga
lim (
3√8n3 + 4n2 −2n)
n→
∞
18 paź 10:08
Benny: Zastosuj się do tego:
18 paź 10:19
Agnieszka: Nie potrafię. Nigdy nie miałam granicy ciągu a to jest moje zadanie zaliczeniowe na studiach.
Nie mam pojęcia jak to się robi i wzór który jest dla mnie niezrozumiały niestety mi nie
pomoże...
18 paź 10:39
PW: Jak to niezrozumiały? Przecież to wzór
(a−b)(a2+ab+b2) = a3 − b3
znany od gimnazjum (jeśli nie podstawówki),w którym obie strony podzielono przez (a2+ab+b2).
Robi sie takie coś jak pokazał Benny, bo widzimy, że wtedy można się "pozbyć" pierwiastka
trzeciego stopnia − po podniesieniu do potęgi trzeciej
(3√8n3+4n2)3 − (2n)3
w liczniku uzyskamy
8n3 + 4n2 − 8n3 = 4n2,
czyli licznik znacznie się uprości, za to dojdzie nieprzyjemny mianownik.
Trzeba jednak uważnie ten mianownik wypisać. Wszystko robi się po to, żeby za chwilę licznik i
mianownik skrócić przez n2. Otrzymamy wtedy ułamek o liczniku równym 4 (sytuacja jasna − ciąg
stały) i mianowniku paskudnym z wyglądu, ale o znanej granicy.
18 paź 11:29
Agnieszka: Więc wynikiem jest 4n2 ?
18 paź 13:28
PW: Do wzoru podanego przez Benny'ego podstaw
a = 3√8n3 + 4n i b = 2n.
Co będzie w liczniku − już policzyłem. Mianownika nie pisałem, bo w tym edytorze byłoby to i
tak mało czytelne, ale na kartce to nic trudnego. Podstaw i zobacz co będzie gdy licznik i
mianownik podzielisz przez n2. Nie będzie to "ładne" wyrażenie, ale za to widać jaką ma
granicę.
Trudność może stanowić "włączenie n pod pierwiastek trzeciego stopnia" przy dzieleniu, ale
przypomnisz sobie na pewno jak się to robi.
18 paź 13:40