dowodzenie jagusia:

	a		b
|		−		| ≤ c|a−b|
	1+a2		1+b2

Udowodnij,że jeśli c≥1 to dla dowolnych a,b ∊ℛ zachodzi powyższa nierówność

sushi_gg6397228: to zacznij od lewej strony i wspolny mianownik

:):

	a		b		a(1+b2)		b(1+a2)
|		−		|=|		−		|
	1+a2		1+b2		(1+a2)(1+b2)		(1+b2)(1+a2)

jagusia: Tyle jeszcze byłam w stanie zrobić

:):

	a+ab2−b−ba2		(a−b)+(ab2−ba2)
=|		|=|		|
	(1+a2)(1+b2)		(1+a2)(1+b2)

	(a−b)−ab(a−b)		(1−ab)(a−b)
=|		|=|		|
	(1+a2)(1+b2)		(1+a2)(1+b2)

sushi_gg6397228: przemnozyc, potem "poszukać" wyrażen "a−b"

jagusia: ten etap też już przeszłam, tylko nie wiem o czym to świadczy jeszcze

:): więć wystarczy pokazać, że

	1−ab
|		|≤1
	(1+a2)(1+b2)

:): czyli, że |1−ab|≤(1+a²)(1+b²)

:): Jeżeli 1−ab≤0 to oczywiście tak jest Jeżeli 1−ab>0 to chcemy pokazać, że 1−ab≤1+b²+(ab)²+a²

jagusia: Ja umiem przekształcać wyrażenia algebraiczne, tylko mam problem z tym wykazaniem, że to jest mniejsze od 1 właśnie, bo jak wymnożę nawiasy itp, to nie widzę tego.

:): |1−ab|≤1+|ab| Wystarczy pokazać, że dla liczb dodatnich coś takiego zachodzi czyli, że dla a>0,b>0 to 1+ab≤1+a²+b²+(ab)² czyli, że 0≤a²+(ab)(ab−1)+b² 1. Jeżeli ab≥1 to okk 2. Jeżeli ab<1 (oraz a,b>0) to ab≤max{a²,b²} więc też ok

b.: ab≤max{a²,b²} zachodzi zawsze, więc można pozbyć się pozostałych przypadków

henrys: można i z twierdzenia Lagrange'a

jagusia: problem jest taki, że mamy to na ćwiczeniach z analizy, a mieliśmy jedynie indukcję, zależności między średnimi i Cauchy'ego..