Dowód funkcja okresowa Damian1996: I jeszcze jedno zadanie, tym razem funkcja okresowa Wykaż, że jeżeli dla funkcji f:R→R istnieje a≠0 takie, że (1−f(x))*f(x+a)=1+f(x) dla każdego x ∊R, to f jest funkcją okresową.

Damian1996: Nie ma nikt pomysłu?

Kacper: Pokaż, że okresem funkcji spełniającej ten warunek jest liczba 4.

Mila:

	1+f(x)
f(x+a)=
	1−f(x)

	1+f(x+a)		1+f(x)   1+   1−f(x)
f(x+a+a)=		=		=
	1−f(x+a)		1+f(x)   1−   1−f(x)

	1−f(x)+1+f(x)		−1
=		=
	1−f(x)−1−f(x)		f(x)

	1+f(x+2a)		−1   1+   f(x)		f(x)−1
f(x+a+2a)=		=		=
	1−f(x+2a)		1   1+   f(x)		f(x)+1

	1+f(x+3a)		f(x)−1   1+   f(x)+1
f(x+a+3a)=		=		=
	1−f(x+3a)		f(x)−1   1−   f(x)+1

	f(x)+1+f(x)−1		2f(x)
=		=		=f(x)⇔
	f(x)+1−f(x)+1		2

f(x+4a)=f(x) T=4a

Eta: Mila bardzo dziękuję

Kacper: Ładny gotowiec.

Damian1996: Dziękuję, nie miałem czasu wejść zobaczyć