równanie różniczkowe jednorodne Monia: Witam mam problem z takim równaniem różniczkowym jednorodnym 2(x − 2y +1) + (5x− y− 4)dy/dx = 0 Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić jak się za to zabrać krok po kroku z góry dziękuję za jakąkolwiek pomoc

Monia:

sushi_gg6397228: jakie mialas na zajęciach sposoby rozwiązywania ?

Mariusz:

dy		(−2x+4y−2)
	=
dx		5x−y−4

x=u+α y=v+β

dv		−2(u+α)+4(v+β)−2
	=
du		5(u+α)−(v+β)−4

dv		−2u+4v−2α+4β−2
	=
du		5u−v+5α−β−4

−2α+4β−2=0 5α − β−4=0 −2α+4β=2 5α − β=4 −α+2β=1 5α − β=4 Rozwiąż ten układ równań a dostaniesz jednorodne w którym rozdzielisz zmienne po podstawieniu v=uz

Monia: α i β =1

dv		−2u+4v
	=
du		5u−v

	v
podstawiam z=
	u

dv		−2+4z
	=
du		5−z

dv		dz
	=u		+z
du		du

	dz		−2+4z
u		+z=		/*(5−z)
	du		5−z

	u
(5−z)dz		+z(5−z)=−2+4z
	du

po przekształceniach mam:

(5−z)dz		du
	=
−2−z+z2		u

du
	=ln(u)
u

	f'(x)
nie wiem co zrobić z lewą stroną chciałam zastosować wzór		=ln(f(x)) ale nie
	f(x)

wychodzi mi to z góry proszę o pomoc jak sobie z tym poradzić, a może gdzieś robię błąd

Monia: up

Mariusz: Mianownik da się rozłożyć więc proponuję rozkład na sumę ułamków prostych Lewa strona

	A		B		du
(		+		)dz=
	z+1		z−2		u

Prawą stronę już policzyłaś (z dokładnością do stałej) teraz policz lewą a na koniec sprawdzimy czy nie ma błędów

Monia: lewa strona A=−2 B=1 a więc:

−2		1
	+		=0
(z+1)		(z−2)

po całkowaniu −2ln(z+1)+ln(z−2)=lnu +lnC1 i teraz przekształcić mam to względem C1? C1= (z+1)²+z−2−u ? i potem wracam do z={v}/{u} czy jakoś inaczej bądź błąd gdzieś robie ?

Monia: błagam o pomoc co dalej:(

Monia: up

Monia: jednak poprawiłam to w ten sposób: −2ln(z+1)+ln(z−2)=lnu+lnc₁

	(z−2)
u=C
	(z+1)2

C=1/c₁

	(z−2)
v=Cz
	(z+1)2

x=u+1 y=v+1 i teraz co dalej ?

ICSP:

	5 − z		z−2
∫		dz = ln		+ C
	z2 − z − 2		(z+1)2

z − 2
	= Cu , C∊R
(z + 1)2

i zaczynasz wracać z wszystkimi podstawieniami dokonanymi wcześniej.

Monia: Tak to już tam napisałam. Do tej postaci doszłam. właśnie mam problem jak mam zamienić to z i jak do tego wrócić. mogę prosić o pomo

Monia: Up

Monia:

Monia: up