pytanie pytajnik: √x−1 < x−3 Czy można od tak podnieść do kwadratu cale wyrazenie? Jaka była zasada x−√x − 2 < 0 Tutaj to samo pytanie

PW : Po pierwsze to nie jest "wyrażenie", ale nierówność. Zdanie a < b ⇔ a² < b² jest na ogół fałszywe. Łatwo podasz przykład, może wtedy przypomnisz sobie, kiedy można.

Janek191: − 3 < − 2 ale 9 > 4

Janek191: √x − 1 ≥ 0 ⇒ x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 Jaki wniosek ?

dianaa: musisz nałożyć moduł na wyrażenie po lewej stronie pierwszej nierówności √x−1=√(x−1)²=|x−1|

dianaa: wiesz już jak dalej rozpisać nierówność z modułem?

Janek191: @ Dianaa: Skąd się wzięło √(x −1)² ?

pytajnik: czyli wystarczy dac po prostu zalozenia ze x−1 i x−3 sa wieksze lub rowne zero?

pytajnik: i wtedy mozna podnosic do ² ?

Janek191: x ≥ 3

pytajnik: a w tym ostatnim jakie zalozenie wtedy trzeba? bo juz chyba nie ze cale wyrazenie >= 0

PW : Uporządkujmy. Dziedziną nierówności są x≥1, co wynika z definicji pierwiastka. Zaczynamy myśleć jak ją rozwiązać. Jest oczywiste, że jeśli prawa strona jest ujemna, to rozwiązań nie ma (bo lewa strona jest nieujemna). Możemy więc ograniczyć poszukiwanie rozwiązań do takich x, dla których x − 3 ≥ 0. Nie jest to jednak coś, co można nazwać założeniem ('założenie' to synonim 'dziedziny'). Jest to stwierdzenie: szukamy rozwiązań dla x ≥ 3, bo gdzie indziej ich nie ma. Jest to więc faktycznie stwierdzenie, że zadana nierówność jest równoważna nierówności (1) √x − 1 < x − 3, x∊<3,∞). A dla takich x obie strony są nieujemne, zatem nierówność (1) jest równoważna nierówności x − 1 < (x−3)², x∊<3,∞). uzyskanej przez podniesienie obu stron do kwadratu. Równoważność wynika z monotoniczności funkcji h(u) = u² na przedziale <0,∞).

pytajnik: czyli w drugim wystarczy napisac ze x≥0 i mozna do kwadratu?

pigor: .., lub np. tak : √x−1 < x−3 i x−1≥0 i niech (*) √x−1= t >0 ⇒ x−1=t² i x=t²+1 >0 ⇒ ⇒ t< t²+1−3 i (*) t >0 ⇒ t²−t−2 >0 ⇔ (t+1)(t−2) >0, stąd i z (*) ⇔ t >2 ⇔ ⇔ √x−1 >2 /² i (**) x > ⇒ x−1 >4 ⇔ x >5 ⇔ x∊(5;+∞). ...

pytajnik: tak samo mi wyszlo dziekuje jeszcze tylko ten drugi przyklad chcialbym sie upewnic czy dobrze mysle

Eta: x−3≥0 ⇒ x≥3 x−1< x²−6x+9 ⇒ x²−7x+10>0 ⇒ (x−2)(x−5)>0 ⇒x∊(−∞,2)U(5,∞) i x≥3 odp : x∊(5,∞)

pigor: ..., proponuję np. tak : x−√x−2< 0 i (*) [c[x ≥0]} ⇒ (√x)²−√x−2< 0 ⇔ ⇔ (√x+1)(√x−2) < 0 ⇔ √x−2 < 0 ⇔ √x < 2 /² ⇔ ⇔ x< 4, stąd i z (*) 0 ≤ x < 4 ⇔ x∊ [0;4) . ...

pytajnik: troche sie gubie w twoim zapisie pigor nie wiem skad √x +1 na przyklad

Janek191: Stąd, że ( √x + 1)*( √x − 2) = x − 2√x + √x − 2 = x − √x − 2

pytajnik: dzieki, huh, mi dojscie do tego zajelo az 4−5 linijek obliczen

Janek191: Lata ćwiczeń czynią mistrza

pigor: ..., przepraszam, ale może się chociaż, czegoś nauczyła(e)ś... u mnie jest to nierówność kwadratowa zmiennej √x ( w mojej głowie znana ci zmienna pomocnicza t ), a −1,2, to pierwiastki obliczone z wzorów Viete'a ... znowu w mojej głowie − w pamięci − trójmianu kwadratowego jej lewej strony, stąd ta postać iloczynowa tej strony ...

pigor: ..., a więc nie ma to jak dobra pamięć operacyjna, mój RAM w ... mojej głowie ; pozdrawiam Janek191.